TitelKürzen & Ausklammern
AutorMNWeG
veröffentlicht09.10.2024
FachMathematik
KompetenzbereichTerme
NiveaustufeR (Regelstandard)
Phase8
MaterialformenArbeitsblatt, Information

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Kürzen

Bruchterme können durch Kürzen vereinfacht werden. Dies ist wichtig, da vereinfachte

Bruchterme leichter zu verstehen und zu interpretieren sind. Dadurch können Brüche einfacher miteinander verglichen werden. Auch könnten komplizierte Brüche zu Rechenfehlern führen.

Merke

Beim Kürzen von Bruchtermen werden Zähler und Nenner durch die selbe Zahl oder Variable geteilt.

Beispiele:

Erklärvideo

YouTube-Video

Kürze die Bruchterme.

\frac{36 x}{42}

\frac{4 ab c}{8 ab c}

\frac{12 x ^{3}}{4 x ^{2}}

\frac{3 x}{9 x ^{2}}

\frac{4 x}{20 x}

\frac{25 x y}{5 x z}

Ausklammern und Kürzen

Ausklammern bei Bruchtermen ist eine Technik, um Brüche zu vereinfachen, indem man einen gemeinsamen Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner findet und diesen dann ausklammert. Ausklammern wird deshalb auch Faktorisieren genannt.

Vorgehen

Betrachten wir den Bruchterm:

Schritte zum Ausklammern:

1. Faktor herausfinden:

Im Nenner haben beide Terme den gemeinsamen Faktor 4x.

2. Ausklammern:

4x wird im Nenner ausgeklammert:

3. Kürzen:

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren im Zähler und im Nenner kürzen.

Zuerst kürzen wir x: Dann kürzen wir die 4 und 2:

\frac{2 x}{4 x ^{2} + 8 x}

Erklärvideo

YouTube-Video

\frac{2 x}{4 x ( x + 2 )}

\frac{2 x}{4 x ( x + 2 )}

\frac{2}{4 ( x + 2 )} = \frac{1}{2 ( x + 2 )}

Beispiele:

Vereinfache die Bruchterme durch Kürzen und Ausklammern.

\frac{4 ( 5 x - 1 )}{12 ( 5 x - 1 )}

\frac{2 x ( x + 2 )}{8 x ( x + 2 )}

\frac{2 x}{2 x - 2 y}

\frac{4 x ^{2} + 12 x}{8 x ^{2} + 24 x}

\frac{10 x}{10 x y + 20 x z}

Ausklammern und Kürzen - SONDERFÄLLE

Hier wurden die Zahlen mit Vorzeichen vertauscht (Kummatitivgesetz). Es kann trotzdem gekürzt werden.

Beispiele:

Hier kann (-1) ausgeklammert werden, damit dann die Terme gekürzt werden können.

Hier kann NICHT ausgeklammert und NICHT weiter gekürzt werden, da es sich um zwei verschiedene Terme handelt. Differenzen und Summen dürfen nicht gekürzt werden.

Achtung!

Kürze Terme nur, wenn diese als Ganzes stehen, denn

Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Beachte die Sonderfälle und vereinfache die Bruchterme durch Kürzen und Ausklammern.

\frac{64 x ^{2} ( 3 + x )}{8 x ( x + 3 )}

\frac{14 x ^{2} ( x + 3 )}{7 x ^{2} ( x - 3 )}

\frac{6 x ^{2} ( 4 + 2 x ) ( x - 1 )}{3 x ( 2 x + 4 ) ( x + 1 )}

\frac{3 ( 5 x + 3 ) ( 3 x - 5 )}{9 ( 3 x - 5 ) ( 3 + 5 x )}

Oh, da hat jemand aus Versehen Wasser verschüttet und die Rechnung ist nicht mehr lesbar. Helfe mit und schreibe die korrekten Zahlen oder Variablen in die Wasserflecken.

Vereinfache die Bruchterme, durch Kürzen und Ausklammern. Achte auf Sonderfälle.

\frac{2 x ( x + 2 )}{4 x ( x + 2 )}

\frac{4 x - 1}{2 ( 4 x - 1 )}

\frac{8 x + 8}{4 x + 4}

\frac{4 x - 1}{2 ( 2 x - 1 )}

\frac{3 ab}{9 a ^{2} b - 3 ab}

\frac{6 x ^{2} + 9 x}{10 x + 15}

\frac{30 x ^{2} - 5 x}{4 x ( 4 - 1 )}

\frac{6 x ^{2} + 12 x}{3 x}

Kür­zen

Aus­klam­mern und Kür­zen

Aus­klam­mern und Kür­zen ﻿- ﻿SON­DER­FÄL­LE

Kürzen

Ausklammern und Kürzen

Ausklammern und Kürzen - SONDERFÄLLE