(1)

(2)

(3)

ja

nein

ja

nein

Untersuchung der Lagebeziehung von $E$ und $F$



1) Die Normalenvektoren der beiden Ebenen werden auf lineare Abhängigkeit untersucht:

2) Wenn eine lineare Abhängigkeit vorliegt, wird geprüft, ob sich die Ebenengleichungen ineinander umwandeln lassen:

3)

Untersuchung der Lagebeziehung von $E$ und $G$



Führe die Schritte 1) bis 3) für die Ebenen $E$ und $G$ durch.





Untersuchung der Lagebeziehung von $E$ und $H$



Führe die Schritte 1) bis 3) für die Ebenen $E$ und $H$ durch.

Lösung



Aufgabe 1

a) (1) Die Ebenen sind identisch.

(2) Die Ebenen sind parallel zueinander.

(3) Die Ebenen haben eine Schnittgerade.



b) (1) und (2) Die Normalenvektoren der Ebenen sind linear abhängig.

(3) Die Normalenvektoren der Ebenen sind nicht linear abhängig.



c) (1) und (3) Die Ebenen haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

(2) Die Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte.





Aufgabe 2

Umwandlung der Ebene $E$ in eine Koordinatengleichung

$E:4x_1+2x_2-3x_3=8$





Untersuchung der Lagebeziehung von $E$ und $F$



1) Die Normalenvektoren der beiden Ebenen werden auf lineare Abhängigkeit untersucht:



$\left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ \text{-}3\end{array}\right)=0,5\cdot \left(\begin{array}{r}8\\ 4\\ \text{-}6\end{array}\right)$



2) Wenn eine lineare Abhängigkeit vorliegt, wird geprüft, ob sich die Ebenengleichungen ineinander umwandeln lassen:

$4x_1+2x_2-3x_3=8|\cdot 2$

$8x_1+4x_2-6x_3=16$



3) Die beiden Normalenvektoren der Ebenen sind linear abhängig. Die beiden Ebenengleichungen lassen sich ineinander umwandeln. Die beiden Ebenen sind identisch.



Lösung



Fortsetzung von Aufgabe 2



Untersuchung der Lagebeziehung von $E$ und $G$



1) Die Normalenvektoren der beiden Ebenen werden auf lineare Abhängigkeit untersucht:



$\left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ \text{-}3\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ \text{-}3\end{array}\right)$



2) Wenn eine lineare Abhängigkeit vorliegt, wird geprüft, ob sich die Ebenengleichungen ineinander umwandeln lassen:

$4x_1+2x_2-3x_3=8$ lässt sich nicht durch Äquivalenzumformungen in

$4x_1+2x_2-3x_3=\text{-}2$ umwandeln.



3) Die beiden Normalenvektoren der Ebenen sind linear abhängig. Die beiden Ebenengleichungen lassen sich nicht ineinander umwandeln. Die beiden Ebenen sind parallel.





Untersuchung der Lagebeziehung von $E$ und $H$



1) Die Normalenvektoren der beiden Ebenen werden auf lineare Abhängigkeit untersucht:



$\left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ \text{-}3\end{array}\right)\ne k\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ 2\\ \text{-}1\end{array}\right)$



2) entfällt



3) Die beiden Normalenvektoren der Ebenen sind nicht linear abhängig. Die beiden Ebenengleichungen lassen sich nicht ineinander umwandeln. Die beiden Ebenen haben eine Schnittgerade.