• Lagebeziehungen von Ebenen
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Arbeitsblatt
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1
Untersuche, wie die beiden Ebenen zueinander liegen. Nutze für die Berechnungen dein Heft.

a) E ⁣:4x12x23x3=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1-2x_2-3x_3 = 2 und F ⁣:8x14x2+6x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 8x_1-4x_2+6x_3 = 4


b) E ⁣:6x11x2+2x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 6x_1-1x_2+2x_3 = 4 und F ⁣:x=( 002)+s ( 10-3)+t ( 12-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\2\end{array} \right) + s\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\\text{-}3\end{array} \right)+ t\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\\text{-}2\end{array} \right)


c) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E enthält die Punkte A(14-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A(1|4|\text{-4}), B(310)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B(3|1|0) und C(721)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C(7|2|1). Die Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F enthält den Punkt D(314)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D(3|1|4) und hat den Normalenvektor n=( 1-2-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\\\text{-}2\end{array} \right).


d) Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E hat nur einen Spurpunkt.
Die Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F ist in der Abbildung dargestellt.
a) Die Ebenen haben eine Schnittgerade.
b) Die Ebenen sind identisch.
c) Die Ebenen liegen parallel zueinander.
d) Die Ebenen haben eine Schnittgerade.
-3-2-112x₂-11x₃originOFF21x₁
2
Gegeben ist die Ebene E ⁣:2x14x2+5x3=10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 2x_1-4x_2+5x_3 = 10. Gib eine Koordinatengleichung der Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F an, die die genannten Bedingungen erfüllt. Nutze für die Berechnungen dein Heft.
a) Die Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F ist parallel zu E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und enthält den Punkt P(211)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(2|1|1).
b) Die Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F ist identisch zu E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E. Die erste Koordinate des Normalenvektors ist n1=-1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} n_1=\text{-}1.
c) Die Spurgerade in der x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene ist die Schnittgerade der beiden sich senkrecht schneidenden Ebenen E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F.
a) z. B. F ⁣:2x14x2+5x3=5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 2x_1-4x_2+5x_3 = 5
b) z. B. F ⁣:-1x1+2x22,5x3=-5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \text{-}1x_1+2x_2-2{,}5x_3 = \text{-}5
c) z. B. F ⁣:8x1+29x2+20x3=40\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 8x_1+29x_2+20x_3 = 40
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Ordne den Ebenengleichungen jeweils die Abbildung zu, die die Lagebeziehung der Ebenen am besten beschreibt.

a) E ⁣:x12x2+3x3=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1-2x_2+3x_3 = 2
F ⁣:2x14x2+6x3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 2x_1-4x_2+6x_3 = 6


b) E ⁣:3x12x21x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 3x_1-2x_2-1x_3 = 4
F ⁣:1x1+1x2+1x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 1x_1+1x_2+1x_3 = 4


c) E ⁣:5x12x23x3=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 5x_1-2x_2-3x_3 = 2
F ⁣:-3x14x2+x3=7\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \text{-}3x_1-4x_2+x_3 = 7


d) E ⁣:x12x26x3=5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1-2x_2-6x_3 = 5
F ⁣:0,2x10,4x21,2x3=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 0{,}2x_1-0{,}4x_2-1{,}2x_3 = 1

(2)

(1)

(3)

(4)

a) Die Ebenen sind parallel wie in Abbildung (2).
b) Die Ebenen schneiden sich senkrecht wie in Abbildung (4).
c) Die Ebenen schneiden sich wie in Abbildung (3).
d) Die Ebenen sind identisch wie in Abbildung (1).
4
Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
c) Die Ebenen E ⁣:x1=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1 = 4 und F ⁣:x2=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: x_2 = 4 haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt.
  • wahr
  • falsch
a) Die Ebene E ⁣:x1=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1 = 4 ist parallel zur
x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene.
  • wahr
  • falsch
b) Die Ebene E ⁣:x1=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1 = 4 ist identisch mit der Ebene F ⁣:2x1=8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 2x_1 = 8.
  • wahr
  • falsch
d) Ein Normalenvektor der Ebene
E ⁣:2x12x23x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!:2x_1-2x_2-3x_3 = 4 ist n=( 223)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\2\\3\end{array} \right).
  • wahr
  • falsch