• LGS mit mehr als drei Gleichungen
  • MNWeG
  • 21.04.2021
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
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Ein LGS kann beliebig viele Gleichungen haben. Das Vorgehen ist dabei analog zum Lösen eines LGS mit zwei oder drei Gleichungen. Das Beispiel zeigt den Lösungsweg für ein LGS mit 4 Gleichungen und 4 Variablen.

I.   1x1+  2x2+  3x3 2x4=    2I ⁣I.  -1x1  2x2  3x3+ 1x4=   -5I ⁣I ⁣I.  -1x1  1x2+  1x3+ 2x4=    4I ⁣V.  -1x1+  2x2+  3x3+ 3x4=  15\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ 3x_3&-&\ 2x_4&=&\ \ \ \ 2\\ I\!I.\ \ &\text{-1}x_1&-&\ \ 2x_2&-&\ \ 3x_3&+&\ 1x_4&=&\ \ \ \text{-5}\\ I\!I\!I.\ \ &\text{-} 1x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&+&\ 2x_4&=&\ \ \ \ 4\\ I\!V.\ \ &\text{-1}x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ 3x_3&+&\ 3x_4&=&\ \ 15\\ \end{aligned}

Bei einem LGS mit mehr als drei Gleichungen gelten die gleichen Regeln wie bei einem LGS mit weniger Gleichungen:

- Zeilen dürfen addiert werden.

- Zeilen dürfen getauscht werden.

- Zeilen dürfen mit einem Koeffizienten multipliziert und dividiert werden.

(123-22-1-2-31-5-1-1124-123315)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 3 & \text{-}2 & 2 \\ \text{-}1 & \text{-}2 & \text{-}3 & 1 & \text{-}5 \\ \text{-}1 & \text{-}1 & 1 &2 & 4 \\ \text{-}1 & 2 & 3 & 3 & 15 \end{array} \right)


(123-22000-1-301406046117)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 3 & \text{-}2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}1 & \text{-}3 \\ 0 & 1 & 4 &0 & 6 \\ 0 & 4 & 6 & 1 & 17 \end{array} \right)


(123-220461170-4-160-24000-1-3)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 3 & \text{-}2 & 2 \\ 0 & 4 & 6 & 1 & 17 \\ 0 & \text{-}4 & \text{-}16 &0 & \text{-}24 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}1 & \text{-}3 \end{array} \right)

(123-2204611700-101-7000-1-3)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 3 & \text{-}2 & 2 \\ 0 & 4 & 6 & 1 & 17 \\ 0 & 0 & \text{-}10 & 1 & \text{-}7 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}1 & \text{-}3 \end{array} \right)

(-1-2-32-2081223400-202-14000-2-6)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} \text{-} 1& \text{-}2 & \text{-}3 & 2 & \text{-}2 \\ 0 & 8 & 12 & 2 & 34 \\ 0 & 0 & \text{-}20 & 2 & \text{-}14 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}2 & \text{-}6 \end{array} \right)


(-1-2-30-808120-2800-200-2000013)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} \text{-} 1& \text{-}2 & \text{-}3 & 0 & \text{-}8 \\ 0 & 8 & 12 & 0 & \text{-28} \\ 0 & 0 & \text{-}20 & 0 & \text{-}20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)

 I+I ⁣I I+I ⁣I ⁣I I+I ⁣V\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!I\\ |\ I+I\!I\!I\\ |\ I+I\!V\\ \end{array}

 I ⁣V (-4) I ⁣I\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I\!V\\ |\ ·(\text{-}4) \\ |\ I\!I\\ \end{array}

 I ⁣I+I ⁣I ⁣I\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I\!I+I\!I\!I\\ \end{array}

 (-1) 2 2 2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ ·(\text{-}1)\\ |\ ·2\\ |\ ·2\\ |\ ·2 \end{array}

 I+I ⁣V I ⁣I+I ⁣V I ⁣I ⁣I+I ⁣V :(-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!V\\ |\ I\!I+I\!V\\ |\ I\!I\!I+I\!V\\ |\ :(\text{-2}) \end{array}

Wenn die Zahlen zu groß werden, kann sich ein Zwischenschritt lohnen, in dem die ganze Zeile durch den größten gemeinsamen Teiler geteilt wird. So bleiben die Zahlen übersichtlich.

:4 :(-20)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |:4\\ |\ :(\text{-}20)\\ \end{array}

(-1-2-30-80230-70010100013)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} \text{-} 1& \text{-}2 & \text{-}3 & 0 & \text{-}8 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & \text{-7} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)


(123080230-700-30-300013)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 3 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & \text{-7} \\ 0 & 0 & \text{-3} & 0 & \text{-3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)


(12005020040010100013)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)


(120050-200-40010100013)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 2 & 0 & 0 & 5\\ 0 & \text{-}2 & 0 & 0 & \text{-}4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)


(10001010020010100013)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrrr|r} 1& 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)


L={1;2;1;3}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{1; 2; 1; 3\}\\ \end{aligned}

 (-1) (-3)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ ·(\text{-}1)\\ \\ |\ ·(\text{-}3)\\ \end{array}

 I+I ⁣I ⁣I I ⁣I+I ⁣I ⁣I :(-3)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!I\!I\\ |\ I\!I+I\!I\!I\\ |\ : (\text{-3})\\ \end{array}

 (-1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ ·(\text{-}1)\\ \end{array}

 I+I ⁣I :(-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!I\\ |\ : (\text{-2})\\ \end{array}

Aus der Einheitsmatrix lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen.

Mit einer Probe lässt sich zeigen, dass die ermittelte Lösungsmenge richtig ist.

I.   1 1+  2 2+  3 1 2 3=    2 I ⁣I.  -1 1  2 2  3 1+ 1 3=   -5 I ⁣I ⁣I.  -1 1  1 2+  1 1+ 2 3=    4 I ⁣V.   -1 1+  2 2+  3 1+ 3 3=  15 \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ &\ \ 1\ ·1 &+&\ \ 2\ ·2&+&\ \ 3\ ·1 &-&\ 2\ ·3&=&\ \ \ \ 2\ \checkmark \\ I\!I.\ &\ \text{-}1\ ·1 &-&\ \ 2\ ·2&-&\ \ 3\ ·1&+&\ 1\ ·3&=&\ \ \ \text{-5} \ \checkmark \\ I\!I\!I.\ &\ \text{-}1\ ·1&-&\ \ 1\ ·2 &+&\ \ 1\ ·1&+&\ 2\ ·3&=&\ \ \ \ 4\ \checkmark\\ I\!V.\ \ &\ \text{-}1\ ·1&+&\ \ 2\ ·2&+&\ \ 3\ ·1&+&\ 3\ ·3&=&\ \ 15\ \checkmark\\\\ \end{aligned}