Ein LGS kann beliebig viele Gleichungen haben. Das Vorgehen ist dabei analog zum Lösen eines LGS mit zwei oder drei Gleichungen. Das Beispiel zeigt den Lösungsweg für ein LGS mit 4 Gleichungen und 4 Variablen.

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& 1x_1& +& 2x_2& +& 3x_3& -& 2x_4& =& 2\\ II.& \text{-1}{x}_1& -& 2x_2& -& 3x_3& +& 1x_4& =& \text{-5}\\ III.& \text{-}1x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& +& 2x_4& =& 4\\ IV.& \text{-1}{x}_1& +& 2x_2& +& 3x_3& +& 3x_4& =& 15\end{array}$

$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 3& \text{-}2& 2\\ \text{-}1& \text{-}2& \text{-}3& 1& \text{-}5\\ \text{-}1& \text{-}1& 1& 2& 4\\ \text{-}1& 2& 3& 3& 15\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 3& \text{-}2& 2\\ 0& 0& 0& \text{-}1& \text{-}3\\ 0& 1& 4& 0& 6\\ 0& 4& 6& 1& 17\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 3& \text{-}2& 2\\ 0& 4& 6& 1& 17\\ 0& \text{-}4& \text{-}16& 0& \text{-}24\\ 0& 0& 0& \text{-}1& \text{-}3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 3& \text{-}2& 2\\ 0& 4& 6& 1& 17\\ 0& 0& \text{-}10& 1& \text{-}7\\ 0& 0& 0& \text{-}1& \text{-}3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}\text{-}1& \text{-}2& \text{-}3& 2& \text{-}2\\ 0& 8& 12& 2& 34\\ 0& 0& \text{-}20& 2& \text{-}14\\ 0& 0& 0& \text{-}2& \text{-}6\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}\text{-}1& \text{-}2& \text{-}3& 0& \text{-}8\\ 0& 8& 12& 0& \text{-28}\\ 0& 0& \text{-}20& 0& \text{-}20\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$

$\begin{array}{l}|I+II\\ |I+III\\ |I+IV\end{array}$

$\begin{array}{l}|IV\\ |\cdot (\text{-}4)\\ |II\end{array}$

$\begin{array}{l}|II+III\end{array}$

$\begin{array}{l}|\cdot (\text{-}1)\\ |\cdot 2\\ |\cdot 2\\ |\cdot 2\end{array}$

$\begin{array}{l}|I+IV\\ |II+IV\\ |III+IV\\ |:(\text{-2})\end{array}$

$\begin{array}{l}|:4\\ |:(\text{-}20)\end{array}$

$\left(\begin{array}{rrrrr}\text{-}1& \text{-}2& \text{-}3& 0& \text{-}8\\ 0& 2& 3& 0& \text{-7}\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 3& 0& 8\\ 0& 2& 3& 0& \text{-7}\\ 0& 0& \text{-3}& 0& \text{-3}\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 0& 0& 5\\ 0& 2& 0& 0& 4\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 2& 0& 0& 5\\ 0& \text{-}2& 0& 0& \text{-}4\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$





$\begin{array}{rl}L=& \{1;2;1;3\}\end{array}$

$\begin{array}{l}|\cdot (\text{-}1)\\ \\ |\cdot (\text{-}3)\end{array}$

$\begin{array}{l}|I+III\\ |II+III\\ |:(\text{-3})\end{array}$

$\begin{array}{l}|\cdot (\text{-}1)\end{array}$

$\begin{array}{l}|I+II\\ |:(\text{-2})\end{array}$

Mit einer Probe lässt sich zeigen, dass die ermittelte Lösungsmenge richtig ist.

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& 1\cdot 1& +& 2\cdot 2& +& 3\cdot 1& -& 2\cdot 3& =& 2✓\\ II.& \text{-}1\cdot 1& -& 2\cdot 2& -& 3\cdot 1& +& 1\cdot 3& =& \text{-5}✓\\ III.& \text{-}1\cdot 1& -& 1\cdot 2& +& 1\cdot 1& +& 2\cdot 3& =& 4✓\\ IV.& \text{-}1\cdot 1& +& 2\cdot 2& +& 3\cdot 1& +& 3\cdot 3& =& 15✓\\ & & & & & & & & & \end{array}$