TitelLGS mit mehr als drei Gleichungen
AutorMNWeG
veröffentlicht07.02.2022
FachMathematik
KompetenzbereichGleichungen
SozialformEinzelarbeit
MaterialformInformation

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Ein LGS kann beliebig viele Gleichungen haben. Das Vorgehen ist dabei analog zum Lösen eines LGS mit zwei oder drei Gleichungen. Das Beispiel zeigt den Lösungsweg für ein LGS mit 4 Gleichungen und 4 Variablen.

$I . I I . I I I . I V . 1 x_{1} -1 x_{1} - 1 x_{1} -1 x_{1} + - - + 2 x_{2} 2 x_{2} 1 x_{2} 2 x_{2} + - + + 3 x_{3} 3 x_{3} 1 x_{3} 3 x_{3} - + + + 2 x_{4} 1 x_{4} 2 x_{4} 3 x_{4} = = = = 2 -5 415$

Bei einem LGS mit mehr als drei Gleichungen gelten die gleichen Regeln wie bei einem LGS mit weniger Gleichungen:

- Zeilen dürfen addiert werden.

- Zeilen dürfen getauscht werden.

- Zeilen dürfen mit einem Koeffizienten multipliziert und dividiert werden.

$1 - 1 - 1 - 1 2 - 2 - 1 2 3 - 3 13 - 2 123 2 - 5 415$

$100020143046 - 2 - 1 01 2 - 3 617$

$1000 24 - 4 0 36 - 16 0 - 2 10 - 1 217 - 24 - 3$

$10002400 36 - 10 0 - 2 11 - 1 217 - 7 - 3$

$- 1 000 - 2 800 - 3 12 - 20 0 222 - 2 - 2 34 - 14 - 6$

$- 1 000 - 2 800 - 3 12 - 20 0 0001 - 8 -28 - 20 3$

$∣ I + I I ∣ I + I I I ∣ I + I V$

$∣ I V ∣ \cdot (- 4) ∣ I I$

$∣ I I + I I I$

$∣ \cdot (- 1) ∣ \cdot 2 ∣ \cdot 2 ∣ \cdot 2$

$∣ I + I V ∣ I I + I V ∣ I I I + I V ∣ : (-2)$

Wenn die Zahlen zu groß werden, kann sich ein Zwischenschritt lohnen, in dem die ganze Zeile durch den größten gemeinsamen Teiler geteilt wird. So bleiben die Zahlen übersichtlich.

$∣ : 4 ∣ : (- 20)$

$- 1 000 - 2 200 - 3 310 0001 - 8 -7 13$

$10002200 33 -3 0 0001 8 -7 -3 3$

$10002200001000015413$

$1000 2 - 2 00 00100001 5 - 4 13$

$10000100001000011213$

$L = {1; 2; 1; 3}$

$∣ \cdot (- 1) ∣ \cdot (- 3)$

$∣ I + I I I ∣ I I + I I I ∣ : (-3)$

$∣ \cdot (- 1)$

$∣ I + I I ∣ : (-2)$

Aus der Einheitsmatrix lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen.

Mit einer Probe lässt sich zeigen, dass die ermittelte Lösungsmenge richtig ist.

$I . I I . I I I . I V . 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + - - + 2 \cdot 2 2 \cdot 2 1 \cdot 2 2 \cdot 2 + - + + 3 \cdot 1 3 \cdot 1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 - + + + 2 \cdot 3 1 \cdot 3 2 \cdot 3 3 \cdot 3 = = = = 2 ✓ -5 ✓ 4 ✓ 15 ✓$