• Mit Vektoren rechnen
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Einzelarbeit
  • Arbeitsblatt
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Reflektionsfragen

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, solltest du kurz über die folgenden Fragen nachdenken. Wenn du zu einer Frage keine Idee hast, lies noch einmal in der INFO nach.


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr In welchen Merkmalen müssen Vektoren übereinstimmen, damit sie als identisch betrachtet werden?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was ist der Unterschied zwischen einem Ortsvektor und einem Verbindungsvektor?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Wie lässt sich ein Vektor zwischen zwei Punkten aufstellen?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was ist der Betrag eines Vektors?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Was passiert, wenn ein Vektor und sein Gegenvektor addiert werden?
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Mit welcher Formel lässt sich der Mittelpunkt von zwei Punkten berechnen?

1
a) Zeichne die Punkte A(21)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|1), B(62)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (6|2) und C(75)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (7|5) in das Koordinatensystem ein.
b) Gib die Koordinaten der Vektoren AB, BC, CA\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC}, \ \overrightarrow{CA} an.
c) Berechne den Umfang u\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} u des Dreiecks ABC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ABC.
d) Zeichne einen Punkt D\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} D in das Koordinatensystem ein, sodass es sich bei dem Viereck ABCD\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ABCD um ein Parallelogramm handelt.
e) Gib den Vektor CD\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{CD} an.
f) Erläutere, warum die Vektoren AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} und CD\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{CD} nicht identisch sind.
123456789101112131415x₁1234x₂originODCBA
b) AB=( 41),BC=( 13),CA=( -5-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} = \left( \begin{array}{r} \ 4\\1\end{array} \right), \overrightarrow{BC} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\3\end{array} \right), \overrightarrow{CA} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}5\\\text{-}4\end{array} \right)
c) u\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} u = AB+BC+CA=42+12+12+32+(-5)2+(-4)213,69\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{4^2 + 1^2}+\sqrt{1^2 + 3^2}+\sqrt{(\text{-}5)^2 + (\text{-}4)^2}≈ 13{,}69
e) CD=( -4-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{CD}= \left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\\text{-}1\end{array} \right)
f) Die Vekoren AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} und CD\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{CD} haben zwar die gleiche Länge und Richtung, aber eine unterschiedliche Orientierung. Es handelt sich um Gegenvektoren.
2
Gegeben sind die Punkte A(53)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (5|3) und B(71)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B (7|1) sowie der Vektor BC=( 63)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{BC}=\left( \begin{array}{r} \ 6\\3\end{array} \right).
a) Zeichne die Punkte A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A, B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} B und C\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C in das Koordinatensystem ein.
b) Gib die Koordinaten des Punktes C\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C sowie den Ortsvektor c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{c} an.
c) Gib den Verbindungsvektor AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB} an.
d) Gib eine allgemeine Formel an, mit der du den Verbindungsvektor PQ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ} der Punkte P(p1p2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(p_1|p_2) und Q(q1q2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q(q_1|q_2) berechnen kannst.
e) Gib den Gegenvektor zum Vektor AC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AC} an.
123456789101112131415x₁12345x₂originOCBA
BC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{BC}
b) C(134),c=( 134)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} C (13|4), \overrightarrow{c}=\left( \begin{array}{r} \ 13\\4\end{array} \right)
c) AB=( 2-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{AB}=\left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}2\end{array} \right)
d) PQ=( q1p1q2p2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{PQ}=\left( \begin{array}{r} \ q_1-p_1\\q_2-p_2\end{array} \right)
e) -AC=CA=( -8-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{-}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}8\\\text{-}1\end{array} \right)
3
Berechne x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}.

a) x=( -23)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\3\end{array} \right)

b) x=( 7-10)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ 7\\\text{-}10\end{array} \right)

c) x=( -16)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\6\end{array} \right)
a) x=( 42)+( -61)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ 4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{r} \ \text{-}6\\1\end{array} \right)


b) x=( 3-8)( -42)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}8\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r} \ \text{-}4\\2\end{array} \right)


c) x+( 1-2)=( 04)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}+\left( \begin{array}{r} \ 1\\\text{-}2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} \ 0\\4\end{array} \right)


4
Carina hat den Vektor x=( 4107)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ 4\\10\\7\end{array} \right) in ein dreidimensionales Koordinatensystem gezeichnet. Ihre Freundin Lisa schaut auf die Zeichnung und sagt: „Da hast du dich vertan. Das ist der Vektor x=( 063)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{r} \ 0\\6\\3\end{array} \right).“
Prüfe, ob Carina einen Fehler gemacht hat und kläre das Missverständnis zwischen den beiden Freundinnen auf.
-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-5-4-3-2-1123x₃originO-4-3-2-12431x₁7104
x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{x}
Da es sich um ein dreidimensionales Koordinatensystem handelt, ist nicht eindeutig erkennbar, welcher Vektor dargestellt wurde. Carina hat zwar richtig gezeichnet, der Vektor von Lisa würde aber genauso aussehen.
5
Berechne den Mittelpunkt M\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} M der Punkte A(27-2) \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A (2|7|\text{-}2)\ und B(-45-3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ B (\text{-}4|5|\text{-}3).

M(-16-2,5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} M(\text{-}1|6|\text{-}2{,}5)