• Mittelwert bestimmen (Durchschnitt)
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  • 28.01.2022
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Manchmal kann es sinnvoll sein, den Durchschnitt einer Datenreihe zu ermitteln. Meteorologen machen dies z.B. wenn sie die Durchschnittstemperatur eines Tages ermitteln wollen.


Hierfür brauchen sie zunächst die Temperaturen, die innerhalb eines Tages aufgetreten sind:

Uhrzeit

00:00

04:00

08:00

12:00

16:00

20:00

Temperatur

Um nun die Durchschnittstemperatur des Tages zu ermitteln, werden alle Werte addiert und durch die Anzahl der addierten Werte geteilt:

Hinweis

Damit man nicht immer Durchschnitt ausschreiben muss, gibt es in der Mathematik ein Zeichen hierfür: \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \varnothing

=(2°+2°+4°+7°+6°+3°):6=24°:6=4°\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} \varnothing&=(2°+2°+4°+7°+6°+3°):6\\ &=24°:6\\ &=\bold{\underline{\underline{4°}}} \end{aligned}

Bei der oben aufgeführten Ermittlung der Durchschnittstemperatur wurde die Temperatur nur alle vier Stunden gemessen - in 24\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 24 Stunden also genau 6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6 Mal.
Wird die Anzahl der Messungen erhöht, wird der Durchschnitt genauer:

Uhrzeit

00:00

03:00

06:00

09:00

12:00

15:00

18:00

21:00

Temperatur

2,5°

4,5°

6,5°

3,5°

=(2°+2,5°+3°+4,5°+7°+6,5°+5°+2,5°):8=34°:8=4,25°\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} \varnothing&=(2°+2{,}5°+3°+4{,}5°+7°+6{,}5°+5°+2{,}5°):8\\ &=34°:8\\ &=\bold{\underline{\underline{4{,}25°}}} \end{aligned}

Da nun 8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 8 Messungen zur Berechnung der Durchschnittstemperatur herangezogen wurden, muss auch durch 8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 8 geteilt werden!


Schauen wir einmal, was bei 12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 12 Messungen herauskommt:

Uhrzeit

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Temperatur

6,5°

6,5°

2,5°

=(2°+2,5°+3°+3°+4°+6,5°+7°+6,5°+6°+5°+3°+2,5°):12=50,5°:12=4,208°\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} \varnothing&=(2°+2{,}5°+3°+3°+4°+6{,}5°+7°+6{,}5°+6°+5°+3°+2{,}5°):12\\ &=50{,}5°:12\\ &=\bold{\underline{\underline{4{,}208°}}} \end{aligned}
Definition

Der Durchschnitt einer Datenreihe berechnet sich aus der Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Bsp:


Max möchte die Durchschnittsgröße seiner Familie ermitteln. Nachdem er alle Größen ermittelt hat, addiert er diese und teilt das Ergebnis durch die Anzahl der Familienmitglieder:


=(156cm+152cm+162cm+174cm+183cm):5=827cm:5=165,4cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} \varnothing&=(156cm+152cm+162cm+174cm+183cm):5\\ &=827cm:5\\ &=\bold{\underline{\underline{165{,}4cm}}} \end{aligned}


Natürlich kann man die Rechnung auch in Form eines Bruches darstellen:

=156cm+152cm+162cm+174cm+183cm5=827cm5=165,4cm\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} \varnothing&=\frac{156cm+152cm+162cm+174cm+183cm}{5}\\ &=\frac{827cm}{5}\\ &= \bold{\underline{\underline{165{,}4cm}}} \end{aligned}

Es gilt also:


=Wert 1 + Wert 2 + Wert 3 + ...Anzahl der Werte\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \bold{\varnothing=\frac{Wert\ 1\ +\ Wert\ 2\ +\ Wert\ 3\ +\ ...}{Anzahl\ der\ Werte}}