Ober­flä­chen und Raum­in­hal­te von Wür­feln und Pris­men

V_Q = a · b · c
= 2 cm · 4 cm · 6 cm = 48 cm³
O_Q = 2ab + 2bc + 2ac
= 2 · 2 · 4 + 2 · 4 · 6 + 2 · 2 · 6
= 16 cm² + 48 cm² + 24 cm² = 88 cm²
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

a) Zah­len für die Was­ser­men­ge: a = 100 cm (Brei­te), b = 60 cm (Tiefe), c = 15 cm (Was­ser­hö­he)
V_Q = a · b · c
= 100 cm · 60 cm · 15 cm = 90.000 cm³ = 90 dm³ = 90 l
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.
b) O_Q = ab + 2bc + 2ac (Ach­tung: a · b - also der Boden - ist nur ein­fach, da das Aqua­ri­um oben offen ist!, c ist jetzt 50 cm)
= 100 · 60 + 2 · 60 · 50 + 2 · 100 · 50
= 6.000 cm² + 6.000 cm² + 10.000 cm² = 22.000 cm² oder 220 dm² oder 2,2 m²
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

a) Ein Wür­fel hat 12 Kan­ten, d.h. 60 cm : 12 = 5 cm
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.
b) O_W = 6aa oder 6a²
= 6 cm · 5 cm · 5 cm = 150 cm²
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.
c) V_W = a · a · a
= 5 cm · 5 cm · 5 cm = 125 cm³
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

Vo­lu­men: V_Q = a · b · c = 112 cm² = a · b · b
112 cm² = a · 4 · 4 = 112 cm² : 16 = 7 cm
Ober­flä­che: O_Q = 4ab + 2bb
Ach­tung: a · b gibt es vier Mal, da die zwei Sei­ten­flä­chen je­weils ein Qua­drat sind.
O_Q = 4 · 7 · 4 + 2 · 4 · 4 = 112 + 32 = 144 cm²
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

Vo­lu­men Haus­dach: V_Q = a · a · h
= 4 cm · 4 cm · 9 cm = 144 cm³
Durch das Drei­eck wird das Vo­lu­men hal­biert, also 144 cm³ : 2 = 72 cm³
Vo­lu­men über die Ober­flä­che des Drei­eckes: A = $\frac{a\cdot h_a}{2}$ = $\frac{4cm\cdot 9cm}{2}$ · 4 cm = 72 cm³
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

a) Vo­lu­men: V_Q = a · b · c
Ver­dop­pel­te Sei­ten­län­ge: V_Q = 2a · 2b · 2c = 8 · a · b · c
Man er­kennt, dass sich das Vo­lu­men verachtfacht!
Vier blaue Wür­fel in der un­te­ren Ebene.
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.
b) Ober­flä­che: O_Q = 2ab + 2bc + 2ac
Ver­dop­pel­te Sei­ten­län­ge: O_Q = 2 · (2a · 2b) + 2 · (2b · 2c) + 2 · (2a · 2c)
= 2 · (4 · a · b) + 2 · (4 · b · c) + 2 · (4 · a · c)
Man er­kennt, dass sich die Ober­flä­che vervierfacht! Graue Flä­che
vier Mal so groß. Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

a) Sei­ten­län­ge über die For­mel der Ober­flä­che:
O_W = 6 · a · a = 37,5 cm² | : 6
$\to$ 37,5 : 6 = a²
$\to$ $\sqrt{6,25}$ = a² | √ (Wur­zel zie­hen)
$\to$ 2,5 cm = a
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.
b) V_W = a³ = 2,5 cm· 2,5 cm · 2,5 cm = 15,625 cm³
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

Sei­ten­län­ge des Qua­dra­tes über die Län­gen der Sei­ten (als Glei­chung lösen).
4 · a + 4 · a + 4 · 13 = 100
8 · a + 52 = 100 | - 52
8 · a = 48 | : 8
a = 6 cm
V_Q = a · a · b = 6 cm · 6 cm · 13 cm = 468 cm³
Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

Höhe über das Vo­lu­men!
V_Q = a · b · c
6.300 = 30 · 14 · c
6.300 = 420 · c | : 420
c = 15 cm $\to$ Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.

a) Das H be­steht aus 7 gleich gro­ßen Wür­feln.
V_W = a · a · a = 4 cm · 4 cm · 4 cm = 64 cm³
7 · 64 cm³ = 448 cm³ $\to$ Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.
b) Ober­flä­che ge­dank­lich in Qua­dra­te zer­le­gen.
Vor­der­sei­te + Rück­sei­te: je 7 Q. also 14 Q.
Sei­ten außen rechts + links: je 3 Q. also 6 Q.
Stand­flä­che unten: 3 Q.
In­nen­flä­chen: 5 Q.
Deck­flä­chen: 2 Q.
Ins­ge­samt: 14 + 6 + 3 + 5 + 2 = 30 Qua­dra­te
30 · 4 cm · 4 cm = 480 cm² $\to$ Lö­sungs­satz nicht ver­ges­sen.