• Sonderfälle beim Lösen eines LGS
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  • 21.04.2021
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LGS mit keiner Lösung
Die folgenden Funktionen gehören zu einem LGS:

I. y = 0,5x + 3
II. y = 0,5x + 4

Die Funktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet:
123456789x123456789yoriginO
In der Zeichnung ist erkennbar, dass die beiden linearen Funktionen parallel verlaufen. Sie haben somit keinen Schnittpunkt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Das wird durch eine leere Lösungsmenge verdeutlicht:

L = { }

Dieses Ergebnis lässt sich auch rechnerisch zeigen. Beim Gleichsetzungsverfahren werden die Funktionen gleichgesetzt:

0,5x + 3 = 0,5x + 4 | – 0,5x
3 = 4

Es entsteht eine falsche Aussage. Das lässt sich mithilfe eines Ungleichzeichens verdeutlichen:

3 ≠ 4

LGS mit unendlich vielen Lösungen

Das folgende LGS soll gelöst werden.

I. x2 = 2x1 + 1

II. 2x2 – 2 = 4x1

Da die erste Gleichung nach x2 umgestellt ist, bietet sich die rechnerische Lösung mit dem Einsetzungsverfahren an:

2 · (2x1 + 1) – 2 = 4x1 | Klammer auflösen

4x1 + 2 – 2 = 4x1 | zusammenfassen

4x1 = 4x1 | – 4x1

0 = 0

Auf beiden Seiten der Gleichung steht das Gleiche. Diese Aussage ist unabhängig von x1 wahr. Somit lässt sich die Gleichung nicht eindeutig lösen. Ein solches Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge wird in Abhängigkeit einer der beiden Varablen angegeben:

L = {x1; 2x1 + 1}

Ein Umstellen von Gleichung II nach x2 bestätigt das Ergebnis:

2x2 – 2 = 4x1 | + 2

2x2 = 4x1 + 2 | : 2

x2 = 2x1 + 1

Die Gleichungen I und II sind identisch. Sie lassen sich durch Umstellen ineinander überführen. Eine zeichnerische Lösung enthält daher nur eine lineare Funktion:

1234567x1234567yoriginO

Mögliche Lösungen für das LGS sind alle Punkte, die auf dieser Geraden liegen, wie zum Beispiel

x1 = 1 und x2 = 3 oder x1 = 3 und x2 = 7.