• Spurpunkte und Spurgeraden
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Inputmaterial
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Arbeitsauftrag

Erarbeite dir die Rechenregeln zu Spurpunkten und Spurgeraden, indem du die Aufgaben löst. Wenn du nicht weiter kommst, findest du die Lösung am Ende des Dokuments.

Beispielaufgabe

Gegeben ist die Ebene E ⁣:6x1+3x2+4x3=12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 6x_1+3x_2+4x_3 = 12.
Ermittle die Spurpunkte und die Spurgeraden der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

Was sind Spurpunkte?

Als Spurpunkte werden die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen bezeichnet. Die Spurpunkte der Ebene in der Abbildung sind Sx1(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1}(2|0|0), Sx2(040)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|4|0) und Sx3(003)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|3).

-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-3-2-1123x₃originO-3-2-121x₁
1
Im Kasten wird der Spurpunkt der Ebene an der x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1-Achse Sx1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1}rechnerisch ermittelt. Erläutere das Vorgehen.
Spurpunkt Sx1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E

(1) x2=0,x3=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (1)\ x_2 = 0, x_3 =0


(2) 6x1+30+40=12x1=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (2)\ 6\cdot x_1+3\cdot0+4\cdot0 = 12\\ \rArr x_1 = 2


(3) Sx1(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (3)\ S_{x_1}(2|0|0)

2
Berechne die beiden anderen Spurpunkte Sx2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2} und Sx3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3} der in der Beispielaufgabe angegebenen Ebene.

Was sind Spurgeraden?
Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-3-2-1123x₃originO-3-2-121x₁
3
Im Kasten wird die Spurgerade der Ebene in der x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene rechnerisch ermittelt. Erläutere das Vorgehen.
Spurgerade gx1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_2} der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E


gx1x2 ⁣:x=sx1+r Sx1Sx2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_2}\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{s_{x_1}} + r\ \cdot\overrightarrow{S_{x_1}S_{x_2}}


gx1x2 ⁣:x=( 200)+r ( -240)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_2}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\4\\0\end{array} \right)

4
Berechne die beiden anderen Spurpunkte Sx2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2} und Sx3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3} der in der Beispielaufgabe angegebenen Ebene.

Haben alle Ebenen Spurpunkte und Spurgeraden?
Die in der Beispielaufgabe gezeigte Ebene hat drei Spurpunkte und drei Spurgeraden. Es gibt jedoch auch Ebenen, die weniger Spurpunkte und Spurgeraden haben. Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn eine Ebene parallel zu einer Koordinatenebene verläuft.

-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-3-2-1123x₃originO-3-2-121x₁

Die Abbildung zeigt die Ebene E:x2=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E: x_2=2. Die Koordinatengleichung dieser Ebene ist so kurz, da sowohl n1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} n_1 als auch n3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} n_3 null sind. Diese Ebene verläuft parallel zur x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene. Sie schneidet die x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1-Achse und die x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Achse nie und hat daher nur einen Spurpunkt mit der x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2-Achse. Die Ebene hat auch nur zwei Spurgeraden. Sie liegen in der x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene und in der x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene:


gx1x2 ⁣:x=( 020)+r ( 100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_2}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)


Alle Ebenen haben mindestens einen Spurpunkt und zwei Spurgeraden. Es können jedoch maximal drei Spurpunkte und drei Spurgeraden sein.

gx2x3 ⁣:x=( 020)+r ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_2x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)

Wie lassen sich Ebenen mithilfe von Spurpunkten zeichnen?

Mithilfe der Spurpunkte können Ebenen leicht gezeichnet werden. Je nachdem, wie viele Spurpunkte eine Ebene hat, ist das Vorgehen ein wenig unterschiedlich.

5
Beschreibe, wie die Ebenen gezeichnet wurden.

a) E ⁣:4x12x2+2x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1-2x_2+2x_3 = 4
Die Ebene hat drei Spurpunkte:
 Sx1(100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ S_{x_1}(1|0|0),  Sx2(0-20)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ S_{x_2}(0|\text{-}2|0),  Sx3(002)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ S_{x_3} (0|0|2)

b) E ⁣:x1+2x2=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_1+2x_2 = 2
Die Ebene hat zwei Spurpunkte:
 Sx1(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ S_{x_1}(2|0|0),  Sx2(010)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ S_{x_2}(0|1|0)

-3-2-112x₂-2-112x₃originOE21x₁
-3-2-112x₂-2-112x₃originOE21x₁

c) E ⁣:x3=-1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_3 = \text{-}1
Die Ebene hat einen Spurpunkt:
 Sx3(00-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ S_{x_3} (0|0|\text{-}1)

-3-2-112x₂-2-112x₃originOE21x₁

Lösung

Aufgabe 1

(1) Um den Spurpunkt Sx1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} zu bestimmen, werden x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 und x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3 null gesetzt.
(2) Die Werte werden in die Koordinatengleichung eingesetzt. Dann wird die Gleichung nach x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 umgestellt.
(3) Der Spurpunkt enthält den berechneten Wert und die für die anderen Koordinaten festgelegten Nullen.


Aufgabe 2

Berechnung von Sx2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}
(1) x1=0,x3=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (1)\ x_1 = 0, x_3 =0


(2) 60+3x2+40=12x2=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (2)\ 6\cdot 0+3\cdot x_2+4\cdot0 = 12\\ \rArr x_2 = 4


(3) Sx2(040)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (3)\ S_{x_2}(0|4|0)


Aufgabe 3

Beim Aufstellen der Spurgerade dient der Ortsvektor eines Spurpunktes als Stützvektor und der Verbindungsvektor zu einem zweiten Spurpunkt als Richtungsvektor.


Aufgabe 4

Spurgerade in der x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene
gx2x3 ⁣:x=sx2+r Sx2Sx3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_2x_3}\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{s_{x_2}} + r\ \cdot\overrightarrow{S_{x_2}S_{x_3}}


gx2x3 ⁣:x=( 040)+r ( 0-43)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_2x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\4\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\\text{-}4\\3\end{array} \right)


Aufgabe 5
a) Hat eine Ebene drei Spurpunkte, werden diese eingezeichnet und verbunden.
b) Bei einer Ebene mit zwei Spurpunkten werden diese eingezeichnet und von dort Parallelen zu der Achse gezeichnet, die keinen Spurpunkt hat.
c) Hat eine Ebene nur einen Spurpunkt, wird dieser eingezeichnet und von dort aus zwei Parallelen zu den Achsen gezeichnet, die keinen Spurpunkt haben.

Berechnung von Sx3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}
(1) x1=0,x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (1)\ x_1 = 0, x_2 =0


(2) 60+30+4x3=12x3=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (2)\ 6\cdot 0+3\cdot 0+4\cdot x_3 = 12\\ \rArr x_3 = 3


(3) Sx3(003)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (3)\ S_{x_3}(0|0|3)

Spurgerade in der x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene
gx1x3 ⁣:x=sx1+r Sx1Sx3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_3}\!: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{s_{x_1}} + r\ \cdot\overrightarrow{S_{x_1}S_{x_3}}


gx1x3 ⁣:x=( 200)+r (-203)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \text{-}2\\0\\3\end{array} \right)