• Spurpunkte und Spurgeraden
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Vektoren
  • 12
  • Arbeitsblatt
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1
Berechne die Spurpunkte und die Spurgeraden der Ebene E ⁣:10x15x22x3=-10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 10x_1-5x_2-2x_3 = \text{-}10.
a) Sx1(-100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (\text{-}1|0|0), Sx2(020)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|2|0) und Sx3(005)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|5)


z. B. gx1x2 ⁣:x=( -100)+r ( 120)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_2}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\2\\0\end{array} \right)


z. B. gx2x3 ⁣:x=( 020)+r ( 0-25)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_2x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\2\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\\text{-}2\\5\end{array} \right)



z. B. gx1x3 ⁣:x=( -100)+r ( 105)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\5\end{array} \right)
2
Eine Ebene hat die Spurpunkte Sx1(-300)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (\text{-}3|0|0), Sx2(0-40)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|\text{-}4|0) und Sx3(001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|1). Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
z. B. E ⁣:x=( -300)+r ( 3-40)+s ( 301)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}3\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}4\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\0\\1\end{array} \right)

z. B. E ⁣:-4x13x2+12x3=12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \text{-}4x_1-3x_2+12x_3 = 12
3
Diese Ebenen zeichnen sich durch eine besondere Lage im Koordinatensystem aus.
a) Beschreibe die Lage der Ebenen.
b) Gib ohne schriftliche Rechnung an, wie viele Spurpunkte und Spurgeraden die Ebenen haben.

(1) E ⁣:x=( -200)+r ( 010)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)

(2) E ⁣:x=( 100)+r ( -110)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\1\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)

(3) E ⁣:x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_3 = 4
a) (1) Die Ebene liegt parallel zur x2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2x_3-Ebene. Sie enthält den Punkt P(-200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(\text{-}2|0|0).

(2) Die Ebene liegt parallel zur x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3-Achse.

(3) Die Ebene liegt parallel zur x1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_2-Ebene. Sie enthält den Punkt P(004)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P(0|0|4).

b) (1) Die Ebene hat nur einen Spurpunkt (Sx1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (S_{x_1}) sowie zwei Spurgeraden (gx1x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (g_{x_1x_2} und gx1x3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_3}).

(2) Die Ebene hat zwei Spurpunkte (Sx1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} und Sx2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}) sowie drei Spurgeraden.

(3) Die Ebene hat nur einen Spurpunkt (Sx3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (S_{x_3}) sowie zwei Spurgeraden (gx2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (g_{x_2x_3} und gx1x3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_3}).
4
Die Abbildung zeigt die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
a) Gib die Spurpunkte der Ebene an.
b) Stelle die Spurgeraden der Ebene auf.
c) Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-3-2-1123x₃originO-3-2-121x₁
a) Sx1(100)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (1|0|0), Sx2(0-30)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|\text{-}3|0) und Sx3(003)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|3)

b) z. B. gx1x2 ⁣:x=( 100)+r ( -1-30)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_2}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\\text{-}3\\0\end{array} \right)

z. B. gx2x3 ⁣:x=( 0-30)+r ( 033)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_2x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\\text{-}3\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\3\\3\end{array} \right)

z. B. gx1x3 ⁣:x=( 100)+r ( -103)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g_{x_1x_3}\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\3\end{array} \right)

c) z. B. E ⁣:x=( 100)+r ( -1-30)+s ( -103)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}1\\0\\3\end{array} \right)

z. B. E ⁣:-3x1+1x21x3=-3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \text{-}3x_1+1x_2-1x_3 = \text{-}3
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Mithilfe der Spurpunkte lassen sich Ebenen sehr anschaulich zeichnen. Zeichne die Ebene
E ⁣:4x1+6x2+3x3=12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 4x_1+6x_2+3x_3 = 12, indem du die Spurpunkte bestimmst, in das Koordinatensystem einträgst und verbindest.
Sx1(300)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (3|0|0), Sx2(020)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|2|0) und Sx3(004)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|4)
-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-4-3-2-11234x₃originO-3-2-1321x₁
6
Nicht nur Ebenen mit drei Spurpunkten lassen sich zeichnen. Stelle die Ebenen im Koordinatensystem dar.
a) E ⁣:x2=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_2= 3
b) F ⁣:2x1+x3=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 2x_1+x_3 = 4
a) Sx2(030)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|3|0)
b) Sx1(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (2|0|0) und Sx3(004)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|4)
-7-6-5-4-3-2-112345678x₂-4-3-2-11234x₃originOFE-3-2-1321x₁