Was sind Spurpunkte?

Als Spurpunkte werden die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen bezeichnet. Die Spurpunkte der Ebene in der Abbildung sind $S_{x_1}(2|0|0)$, $S_{x_2}(0|4|0)$ und $S_{x_3}(0|0|3)$.

Was sind Spurgeraden?

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

Haben alle Ebenen Spurpunkte und Spurgeraden?

Die in der Beispielaufgabe gezeigte Ebene hat drei Spurpunkte und drei Spurgeraden. Es gibt jedoch auch Ebenen, die weniger Spurpunkte und Spurgeraden haben. Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn eine Ebene parallel zu einer Koordinatenebene verläuft.

Die Abbildung zeigt die Ebene $E:x_2=2$. Die Koordinatengleichung dieser Ebene ist so kurz, da sowohl $n_1$ als auch $n_3$ null sind. Diese Ebene verläuft parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene. Sie schneidet die $x_1$-Achse und die $x_3$-Achse nie und hat daher nur einen Spurpunkt mit der $x_2$-Achse. Die Ebene hat auch nur zwei Spurgeraden. Sie liegen in der $x_1{x}_2$-Ebene und in der $x_2{x}_3$-Ebene:



$g_{x_1{x}_2}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$



Alle Ebenen haben mindestens einen Spurpunkt und zwei Spurgeraden. Es können jedoch maximal drei Spurpunkte und drei Spurgeraden sein.

$g_{x_2{x}_3}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Wie lassen sich Ebenen mithilfe von Spurpunkten zeichnen?

Mithilfe der Spurpunkte können Ebenen leicht gezeichnet werden. Je nachdem, wie viele Spurpunkte eine Ebene hat, ist das Vorgehen ein wenig unterschiedlich.

a) $E:4x_1-2x_2+2x_3=4$

Die Ebene hat drei Spurpunkte:

$S_{x_1}(1|0|0)$, $S_{x_2}(0|\text{-}2|0)$, $S_{x_3}(0|0|2)$

b) $E:x_1+2x_2=2$

Die Ebene hat zwei Spurpunkte:

$S_{x_1}(2|0|0)$, $S_{x_2}(0|1|0)$

c) $E:x_3=\text{-}1$

Die Ebene hat einen Spurpunkt:

$S_{x_3}(0|0|\text{-}1)$

Lösung



Aufgabe 1

(1) Um den Spurpunkt $S_{x_1}$ zu bestimmen, werden $x_2$ und $x_3$ null gesetzt.

(2) Die Werte werden in die Koordinatengleichung eingesetzt. Dann wird die Gleichung nach $x_1$ umgestellt.

(3) Der Spurpunkt enthält den berechneten Wert und die für die anderen Koordinaten festgelegten Nullen.





Aufgabe 2

Berechnung von $S_{x_2}$

$(1)x_1=0,x_3=0$



$$\begin{gathered} (2)6\cdot 0+3\cdot x_2+4\cdot 0=12 \\ \Rightarrow x_2=4 \end{gathered}$$



$(3)S_{x_2}(0|4|0)$





Aufgabe 3

Beim Aufstellen der Spurgerade dient der Ortsvektor eines Spurpunktes als Stützvektor und der Verbindungsvektor zu einem zweiten Spurpunkt als Richtungsvektor.





Aufgabe 4

Spurgerade in der $x_2{x}_3$-Ebene

$g_{x_2{x}_3}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{s_{x_2}}+r\cdot \overrightarrow{S_{x_2}{S}_{x_3}}$



$g_{x_2{x}_3}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}0\\ \text{-}4\\ 3\end{array}\right)$



Aufgabe 5

a) Hat eine Ebene drei Spurpunkte, werden diese eingezeichnet und verbunden.

b) Bei einer Ebene mit zwei Spurpunkten werden diese eingezeichnet und von dort Parallelen zu der Achse gezeichnet, die keinen Spurpunkt hat.

c) Hat eine Ebene nur einen Spurpunkt, wird dieser eingezeichnet und von dort aus zwei Parallelen zu den Achsen gezeichnet, die keinen Spurpunkt haben.

Berechnung von $S_{x_3}$

$(1)x_1=0,x_2=0$



$$\begin{gathered} (2)6\cdot 0+3\cdot 0+4\cdot x_3=12 \\ \Rightarrow x_3=3 \end{gathered}$$



$(3)S_{x_3}(0|0|3)$

Spurgerade in der $x_1{x}_3$-Ebene

$g_{x_1{x}_3}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{s_{x_1}}+r\cdot \overrightarrow{S_{x_1}{S}_{x_3}}$



$g_{x_1{x}_3}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}\text{-}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$