• U und A eines Kreises
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  • 14.01.2022
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Umfang eines Kreises

Herleitung

Wenn man den Umfang eines Kreises durch die Länge seines Durchmessers (d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d) teilt, dann kommt die konstante Zahl Pi (π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \pi) heraus. Diese wird bei händischen Rechnungen auf zwei Nachkommastellen gerundet und lautet:


π3,14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \pi≈3{,}14


Konstant wird die Zahl genannt, weil sie bei jedem Kreis - egal wie groß - bei der Rechnung Umfang geteilt durch Radius herauskommt.

Definition

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:


UKreis=2πr\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} U_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r

Flächeninhalt eines Kreises

Herleitung

Teilt man den Kreis in viele Kreisausschnitte und legt diese aneinander, dann ergibt sich annähernd ein Rechteck (siehe Material FILM: Flächenberechnung eines Kreises)


Da die lange Seite des Rechtecks halb so lang wie der gesamte Umfang des Kreises ist, ist diese Seite πr\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \pi \cdot r lang, denn: (2πr):2=πr\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (2\cdot \pi \cdot r):2=\pi \cdot r

Die kurze Seite ist genauso lang wie der Radius (r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r) des Kreises.


Nun kann man den Flächeninhalt dieses annähernden Rechtecks wie gewohnt berechnen, indem man die zwei Seiten miteinander multipliziert

Definition

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:


AKreis=πr²\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_{Kreis}=\pi \cdot r²