• Übungsklausur
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
  • Gelingensnachweis
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1
Gegeben sind die Punkte und .

a) Untersuche, ob die Punkte und in der Ebene liegen.



b) Bestimme einen Wert für , so dass der Punkt in der Ebene liegt.
2
Die Ebene hat nur einen Spurpunkt: .
a) Beschreibe die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
b) Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
3
Gegeben ist die Ebene .
Gib eine Gerade an, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllt.

a) Die Gerade schneidet die Ebene senkrecht im Punkt .
b) Die Gerade liegt in der Ebene .
c) Die Gerade hat keine gemeinsamen Punkte mit .

4
Gegeben ist die Abbildung der Ebene sowie
die Ebene .
Untersuche, wie die beiden Ebenen
zueinander liegen.
−4−3−2−112x₂−3−2−112x₃originOE21x₁

Musterlösung

Bitte beachte, dass die Musterlösung beispielhafte Rechenwege zeigt. Teilweise sind alternative Rechenwege und Lösungen möglich. Das gilt insbesondere für die Angabe von Geraden- und Ebenengleichungen.

1
a) Untersuchung von Punkt
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:



Daraus ergibt sich das LGS:



Lösen des LGS ergibt:



Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt liegt in der Ebene .

Untersuchung von Punkt
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:



Daraus ergibt sich das LGS:



Beim Lösen des LGs gibt es einen Widerspruch: .

Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt liegt nicht in der Ebene .
b) Der Punkt wird in die Ebenengleichung eingesetzt.


Umstellen der Gleichung ergibt .
2
a) Die Ebene liegt parallel zur -Ebene.

b) z. B.
z. B.
3
a) Der Normalenvektor der Ebene wird als Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmt:



Da die Gerade senkrecht zu liegt, kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden eingesetzt werden. Als Stützvektor dient der Ortsvektor des Schnittpunktes:



b) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist, den Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor inklusive Parameter zu übernehmen:



c) Wenn die Ebene und die Gerade keine gemeinsamen Punkte haben, müssen sie parallel zueinander liegen. Dazu kann als Stützvektor ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes verwendet werden, der nicht in der Ebene liegt. Als Richtungsvektor kann ein Spannvektor der Ebene verwendet werden.


4
Um die Ebene aufstellen zu können, werden die Spurpunkte der Ebene aus der Abbildung entnommen:

, und

Mithilfe der Spurpunkte wird eine Parametergleichung der Ebene aufgestellt:



Die Parametergleichung wird in eine Koordinatengleichung umgewandelt:



Die Untersuchung der Normalenvektoren zeigt, dass sie linear abhängig sind:



mit

Durch eine Multiplikation lässt sich die Ebenengleichung von in überführen:





Die Ebenen und sind identisch.


x