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GN
Übungsklausur
Mathematik Gleichungen
1
Gegeben sind die Punkte P(3∣1∣-2) und Q(0∣1∣7).
a) Untersuche, ob die Punkte P und Q in der Ebene E liegen.
E:x=-17-3+r ⋅ 4-61+s ⋅ 340
b) Bestimme einen Wert für a, so dass der Punkt P in der Ebene E:6x1+ax2+4x3=1 liegt.
a) Untersuche, ob die Punkte P und Q in der Ebene E liegen.
E:x=-17-3+r ⋅ 4-61+s ⋅ 340
b) Bestimme einen Wert für a, so dass der Punkt P in der Ebene E:6x1+ax2+4x3=1 liegt.
2
Die Ebene E hat nur einen Spurpunkt: Sx2(0∣3∣0).
a) Beschreibe die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
b) Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
a) Beschreibe die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
b) Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
3
Gegeben ist die Ebene E:x=02-2+r ⋅ 2-31+s ⋅ 24-3.
Gib eine Gerade an, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllt.
a) Die Gerade g schneidet die Ebene E senkrecht im Punkt P(4∣3∣-4).
b) Die Gerade h liegt in der Ebene E.
c) Die Gerade k hat keine gemeinsamen Punkte mit E.
Gib eine Gerade an, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllt.
a) Die Gerade g schneidet die Ebene E senkrecht im Punkt P(4∣3∣-4).
b) Die Gerade h liegt in der Ebene E.
c) Die Gerade k hat keine gemeinsamen Punkte mit E.
4
Gegeben ist die Abbildung der Ebene E sowie
die Ebene F:1,5x1−x2+3x3=3.
Untersuche, wie die beiden Ebenen
zueinander liegen.
die Ebene F:1,5x1−x2+3x3=3.
Untersuche, wie die beiden Ebenen
zueinander liegen.
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Übungsklausur
Mathematik Gleichungen
Musterlösung
Bitte beachte, dass die Musterlösung beispielhafte Rechenwege zeigt. Teilweise sind alternative Rechenwege und Lösungen möglich. Das gilt insbesondere für die Angabe von Geraden- und Ebenengleichungen.
1
a) Untersuchung von Punkt P
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
31-2=-17-3+r ⋅ 4-61+s ⋅ 340
Daraus ergibt sich das LGS:
I.II.III.31-2===-17-3 + − +4r6r1r + + +3s4s0s
Lösen des LGS ergibt:
r=1;s=0
Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt P liegt in der Ebene E.
Untersuchung von Punkt Q
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
017=-17-3+r ⋅ 4-61+s ⋅ 340
Daraus ergibt sich das LGS:
I.II.III.017===-17-3 + − +4r6r1r + + +3s4s0s
Beim Lösen des LGs gibt es einen Widerspruch: L={}.
Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt Q liegt nicht in der Ebene E.
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
31-2=-17-3+r ⋅ 4-61+s ⋅ 340
Daraus ergibt sich das LGS:
I.II.III.31-2===-17-3 + − +4r6r1r + + +3s4s0s
Lösen des LGS ergibt:
r=1;s=0
Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt P liegt in der Ebene E.
Untersuchung von Punkt Q
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
017=-17-3+r ⋅ 4-61+s ⋅ 340
Daraus ergibt sich das LGS:
I.II.III.017===-17-3 + − +4r6r1r + + +3s4s0s
Beim Lösen des LGs gibt es einen Widerspruch: L={}.
Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt Q liegt nicht in der Ebene E.
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Übungsklausur
Mathematik Gleichungen
b) Der Punkt P wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
6⋅3+a⋅1+4⋅(-2)=1
Umstellen der Gleichung ergibt a=-9.
6⋅3+a⋅1+4⋅(-2)=1
Umstellen der Gleichung ergibt a=-9.
2
a) Die Ebene liegt parallel zur x1x3-Ebene.
b) z. B. E:x=030+r ⋅ 100+s ⋅ 001
z. B. E:x2=3
b) z. B. E:x=030+r ⋅ 100+s ⋅ 001
z. B. E:x2=3
3
a) Der Normalenvektor n der Ebene wird als Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmt:
n= 2-31× 24-3= 5814
Da die Gerade g senkrecht zu E liegt, kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden eingesetzt werden. Als Stützvektor dient der Ortsvektor des Schnittpunktes:
g:x=43-4+t ⋅ 5814
b) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist, den Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor inklusive Parameter zu übernehmen:
h:x=02-2+r ⋅ 2-31
c) Wenn die Ebene E und die Gerade k keine gemeinsamen Punkte haben, müssen sie parallel zueinander liegen. Dazu kann als Stützvektor ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes verwendet werden, der nicht in der Ebene E liegt. Als Richtungsvektor kann ein Spannvektor der Ebene verwendet werden.
k:x=000+r ⋅ 2-31
n= 2-31× 24-3= 5814
Da die Gerade g senkrecht zu E liegt, kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden eingesetzt werden. Als Stützvektor dient der Ortsvektor des Schnittpunktes:
g:x=43-4+t ⋅ 5814
b) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist, den Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor inklusive Parameter zu übernehmen:
h:x=02-2+r ⋅ 2-31
c) Wenn die Ebene E und die Gerade k keine gemeinsamen Punkte haben, müssen sie parallel zueinander liegen. Dazu kann als Stützvektor ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes verwendet werden, der nicht in der Ebene E liegt. Als Richtungsvektor kann ein Spannvektor der Ebene verwendet werden.
k:x=000+r ⋅ 2-31
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Übungsklausur
Mathematik Gleichungen
4
Um die Ebene E aufstellen zu können, werden die Spurpunkte der Ebene aus der Abbildung entnommen:
Sx1(2∣0∣0), Sx2(0∣-3∣0) und Sx3(0∣0∣1)
Mithilfe der Spurpunkte wird eine Parametergleichung der Ebene aufgestellt:
E:x=200+r ⋅ -2-30+s ⋅ -201
Die Parametergleichung wird in eine Koordinatengleichung umgewandelt:
E:3x1−2x2+6x3=6
Die Untersuchung der Normalenvektoren zeigt, dass sie linear abhängig sind:
nE=k⋅nF
3-26=k ⋅ 1,5-13 mit k=2
Durch eine Multiplikation lässt sich die Ebenengleichung von F in E überführen:
1,5x1−x2+3x3=3 ∣⋅2
3x1−2x2+6x3=6
⇒ Die Ebenen E und F sind identisch.
Sx1(2∣0∣0), Sx2(0∣-3∣0) und Sx3(0∣0∣1)
Mithilfe der Spurpunkte wird eine Parametergleichung der Ebene aufgestellt:
E:x=200+r ⋅ -2-30+s ⋅ -201
Die Parametergleichung wird in eine Koordinatengleichung umgewandelt:
E:3x1−2x2+6x3=6
Die Untersuchung der Normalenvektoren zeigt, dass sie linear abhängig sind:
nE=k⋅nF
3-26=k ⋅ 1,5-13 mit k=2
Durch eine Multiplikation lässt sich die Ebenengleichung von F in E überführen:
1,5x1−x2+3x3=3 ∣⋅2
3x1−2x2+6x3=6
⇒ Die Ebenen E und F sind identisch.
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