• Übungsklausur
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
  • Gelingensnachweis
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1
Gegeben sind die Punkte P(31-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (3|1|\text{-}2) und Q(017)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q (0|1|7).

a) Untersuche, ob die Punkte P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P und Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegen.

E ⁣:x=(-17-3)+r ( 4-61)+s ( 340)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \text{-}1\\7\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\0\end{array} \right)

b) Bestimme einen Wert für a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, so dass der Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P in der Ebene E ⁣:6x1+ax2+4x3=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 6x_1+ax_2+4x_3 = 1 liegt.
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Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E hat nur einen Spurpunkt: Sx2(030)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_{2}} (0|3|0).
a) Beschreibe die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
b) Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
3
Gegeben ist die Ebene E ⁣:x=(02-2)+r ( 2-31)+s ( 24-3)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\2\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\4\\\text{-}3\end{array} \right).
Gib eine Gerade an, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllt.

a) Die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g schneidet die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E senkrecht im Punkt P(43-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (4|3|\text{-}4).
b) Die Gerade h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
c) Die Gerade k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k hat keine gemeinsamen Punkte mit E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

4
Gegeben ist die Abbildung der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E sowie
die Ebene F ⁣:1,5x1x2+3x3=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: 1{,}5x_1-x_2+3x_3 = 3.
Untersuche, wie die beiden Ebenen
zueinander liegen.
-4-3-2-112x₂-3-2-112x₃originOE21x₁

Musterlösung

Bitte beachte, dass die Musterlösung beispielhafte Rechenwege zeigt. Teilweise sind alternative Rechenwege und Lösungen möglich. Das gilt insbesondere für die Angabe von Geraden- und Ebenengleichungen.

1
a) Untersuchung von Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

( 31-2)=(-17-3)+r ( 4-61)+s ( 340)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\\text{-}2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \text{-}1\\7\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\0\end{array} \right)

Daraus ergibt sich das LGS:

I.3=-1 +4r +3sI ⁣I.1=7 6r +4sI ⁣I ⁣I.-2=-3 +1r +0s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&3&=&\text{-}1 &\ +&4r &\ +&3s\\ I\!I.&&1&=& 7 &\ -&6r&\ +&4s&\\ I\!I\!I.&&\text{-}2 &=& \text{-}3&\ +&1r&\ +&0s&\\ \end{aligned}

Lösen des LGS ergibt:

r=1;s=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = 1; s = 0

Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

Untersuchung von Punkt Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

( 017)=(-17-3)+r ( 4-61)+s ( 340)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\7\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \text{-}1\\7\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\0\end{array} \right)

Daraus ergibt sich das LGS:

I.0=-1 +4r +3sI ⁣I.1=7 6r +4sI ⁣I ⁣I.7=-3 +1r +0s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&0&=&\text{-}1 &\ +&4r &\ +&3s\\ I\!I.&&1&=& 7 &\ -&6r&\ +&4s&\\ I\!I\!I.&&7 &=& \text{-}3&\ +&1r&\ +&0s&\\ \end{aligned}

Beim Lösen des LGs gibt es einen Widerspruch: L={}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L=\{\}.

Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q liegt nicht in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
b) Der Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
63+a1+4(-2)=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6 \cdot 3+a \cdot 1+4 \cdot (\text{-}2) = 1

Umstellen der Gleichung ergibt a=-9\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=\text{-9}.
2
a) Die Ebene liegt parallel zur x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene.

b) z. B. E ⁣:x=(030)+r ( 100)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\3\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)
z. B. E ⁣:x2=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_2=3
3
a) Der Normalenvektor n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} der Ebene wird als Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmt:

n=( 2-31)×( 24-3)=( 5814)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n}= \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{r} \ 2\\4\\\text{-}3\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ 5\\8\\14\end{array} \right)

Da die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g senkrecht zu E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt, kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden eingesetzt werden. Als Stützvektor dient der Ortsvektor des Schnittpunktes:

g ⁣:x=(43-4)+t ( 5814)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 4\\3\\\text{-}4\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\8\\14\end{array} \right)

b) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist, den Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor inklusive Parameter zu übernehmen:

h ⁣:x=(02-2)+r ( 2-31)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\2\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)

c) Wenn die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und die Gerade k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k keine gemeinsamen Punkte haben, müssen sie parallel zueinander liegen. Dazu kann als Stützvektor ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes verwendet werden, der nicht in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt. Als Richtungsvektor kann ein Spannvektor der Ebene verwendet werden.

k ⁣:x=(000)+r ( 2-31)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)
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Um die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E aufstellen zu können, werden die Spurpunkte der Ebene aus der Abbildung entnommen:

Sx1(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (2|0|0), Sx2(0-30)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|\text{-}3|0) und Sx3(001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|1)

Mithilfe der Spurpunkte wird eine Parametergleichung der Ebene aufgestellt:

E ⁣:x=(200)+r ( -2-30)+s ( -201)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 2\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\1\end{array} \right)

Die Parametergleichung wird in eine Koordinatengleichung umgewandelt:

E ⁣:3x12x2+6x3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 3x_1-2x_2+6x_3 = 6

Die Untersuchung der Normalenvektoren zeigt, dass sie linear abhängig sind:

nE=knF\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n_E}=k\cdot\overrightarrow{n_F}

( 3-26)=k ( 1,5-13)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}2\\6\end{array} \right)=k\ · \left( \begin{array}{r} \ 1{,}5\\\text{-}1\\3\end{array} \right) mit k=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k=2

Durch eine Multiplikation lässt sich die Ebenengleichung von F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F in E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E überführen:

1,5x1x2+3x3=3   2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1{,}5x_1-x_2+3x_3 = 3\ \ \ |\cdot2

3x12x2+6x3=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3x_1-2x_2+6x_3 = 6

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Ebenen E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F sind identisch.