a) Untersuchung von Punkt $P$
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ \text{-}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\text{-}1\\ 7\\ \text{-}3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}4\\ \text{-}6\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

Daraus ergibt sich das LGS:

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& & 3& =& \text{-}1& +& 4r& +& 3s& \\ II.& & 1& =& 7& -& 6r& +& 4s& \\ III.& & \text{-}2& =& \text{-}3& +& 1r& +& 0s& \end{array}$

Lösen des LGS ergibt:

$r=1;s=0$

Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Untersuchung von Punkt $Q$
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\text{-}1\\ 7\\ \text{-}3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}4\\ \text{-}6\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

Daraus ergibt sich das LGS:

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& & 0& =& \text{-}1& +& 4r& +& 3s& \\ II.& & 1& =& 7& -& 6r& +& 4s& \\ III.& & 7& =& \text{-}3& +& 1r& +& 0s& \end{array}$

Beim Lösen des LGs gibt es einen Widerspruch: $L=\{\}$.

Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt $Q$ liegt nicht in der Ebene $E$.

a) Die Ebene liegt parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene.

b) z. B. $E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
z. B. $E:x_2=3$

a) Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene wird als Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmt:

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}3\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}2\\ 4\\ \text{-}3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}5\\ 8\\ 14\end{array}\right)$

Da die Gerade $g$ senkrecht zu $E$ liegt, kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden eingesetzt werden. Als Stützvektor dient der Ortsvektor des Schnittpunktes:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}4\\ 3\\ \text{-}4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{r}5\\ 8\\ 14\end{array}\right)$

b) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist, den Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor inklusive Parameter zu übernehmen:

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}0\\ 2\\ \text{-}2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}3\\ 1\end{array}\right)$

c) Wenn die Ebene $E$ und die Gerade $k$ keine gemeinsamen Punkte haben, müssen sie parallel zueinander liegen. Dazu kann als Stützvektor ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes verwendet werden, der nicht in der Ebene $E$ liegt. Als Richtungsvektor kann ein Spannvektor der Ebene verwendet werden.

$k:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{r}2\\ \text{-}3\\ 1\end{array}\right)$