• Übungsklausur
  • MNWeG
  • 04.02.2022
  • Mathematik
  • Gleichungen
  • Einzelarbeit
  • Gelingensnachweis
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1
Gegeben sind die Punkte P(31-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (3|1|\text{-}2) und Q(017)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q (0|1|7).

a) Untersuche, ob die Punkte P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P und Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegen.

E ⁣:x=(-17-3)+r ( 4-61)+s ( 340)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \text{-}1\\7\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\0\end{array} \right)

b) Bestimme einen Wert für a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, so dass der Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P in der Ebene E ⁣:6x1+ax2+4x3=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: 6x_1+ax_2+4x_3 = 1 liegt.
2
Die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E hat nur einen Spurpunkt: Sx2(030)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2} (0|3|0).
a) Beschreibe die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
b) Gib eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene an.
3
Gegeben ist die Ebene E ⁣:(x( 02-2))( 5814)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \left(\overrightarrow{x}-\left( \begin{array}{r} \ 0\\2\\\text{-}2\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r} \ 5\\8\\14\end{array} \right) = 0.
Gib eine Gerade an, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllt.

a) Die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g schneidet die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E senkrecht im Punkt P(43-4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (4|3|\text{-}4).
b) Die Gerade h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
c) Die Gerade k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k hat keine gemeinsamen Punkte mit E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

4
Gegeben ist die Abbildung der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E sowie
die Ebene F ⁣:-2x1+x27x3=-3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F\!: \text{-}2x_1+x_2-7x_3 = \text{-}3.
Untersuche, wie die beiden Ebenen
zueinander liegen und bestimme
gegebenenfalls die Schnitt-
gerade.
-4-3-2-112x₂-3-2-112x₃originOE21x₁

Musterlösung

Bitte beachte, dass die Musterlösung beispielhafte Rechenwege zeigt. Teilweise sind alternative Rechenwege und Lösungen möglich. Das gilt insbesondere für die Angabe von Geraden- und Ebenengleichungen.

1
a) Untersuchung von Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

( 31-2)=(-17-3)+r ( 4-61)+s ( 340)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 3\\1\\\text{-}2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \text{-}1\\7\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\0\end{array} \right)

Daraus ergibt sich das LGS:

I.3=-1 +4r +3sI ⁣I.1=7 6r +4sI ⁣I ⁣I.-2=-3 +1r +0s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&3&=&\text{-}1 &\ +&4r &\ +&3s\\ I\!I.&&1&=& 7 &\ -&6r&\ +&4s&\\ I\!I\!I.&&\text{-}2 &=& \text{-}3&\ +&1r&\ +&0s&\\ \end{aligned}

Lösen des LGS ergibt:

r=1;s=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r = 1; s = 0

Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Punktprobe ist positiv. Der Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P liegt in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.

Untersuchung von Punkt Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q
Der Ortsvektor des Punktes wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

( 017)=(-17-3)+r ( 4-61)+s ( 340)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 0\\1\\7\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \text{-}1\\7\\\text{-}3\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 4\\\text{-}6\\1\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 3\\4\\0\end{array} \right)

Daraus ergibt sich das LGS:

I.0=-1 +4r +3sI ⁣I.1=7 6r +4sI ⁣I ⁣I.7=-3 +1r +0s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.&&0&=&\text{-}1 &\ +&4r &\ +&3s\\ I\!I.&&1&=& 7 &\ -&6r&\ +&4s&\\ I\!I\!I.&&7 &=& \text{-}3&\ +&1r&\ +&0s&\\ \end{aligned}

Beim Lösen des LGs gibt es einen Widerspruch: L={}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L=\{\}.

Das LGS hat keine Lösung. Die Punktprobe ist negativ. Der Punkt Q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Q liegt nicht in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E.
b) Der Punkt P\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
63+a1+4(-2)=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6 \cdot 3+a \cdot 1+4 \cdot (\text{-}2) = 1

Umstellen der Gleichung ergibt a=-9\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=\text{-9}.
2
a) Die Ebene liegt parallel zur x1x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1x_3-Ebene.

b) z. B. E ⁣:x=(030)+r ( 100)+s ( 001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\3\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 1\\0\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ 0\\0\\1\end{array} \right)
z. B. E ⁣:x2=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: x_2=3
3
a) Der Normalenvektor n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n} der Ebene wird mit dem Vektorprodukt bestimmt:

n=( 2-31)×( 24-3)=( 5814)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n}= \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{r} \ 2\\4\\\text{-}3\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ 5\\8\\14\end{array} \right)

Da die Gerade g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g senkrecht zu E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt, kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden eingesetzt werden. Als Stützvektor dient der Ortsvektor des Schnittpunktes:

g ⁣:x=(43-4)+t ( 5814)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 4\\3\\\text{-}4\end{array} \right) + t\ · \left( \begin{array}{r} \ 5\\8\\14\end{array} \right)

b) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist, den Stützvektor und einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor inklusive Parameter zu übernehmen:

h ⁣:x=(02-2)+r ( 2-31)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\2\\\text{-}2\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)

c) Wenn die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und die Gerade k\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} k keine gemeinsamen Punkte haben, müssen sie parallel zueinander liegen. Dazu kann als Stützvektor ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes verwendet werden, der nicht in der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E liegt. Als Richtungsvektor kann ein Spannvektor der Ebene verwendet werden.

h ⁣:x=(000)+r ( 2-31)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ 2\\\text{-}3\\1\end{array} \right)
4
Um die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E aufstellen zu können, werden die Spurpunkte der Ebene aus der Abbildung entnommen:

Sx1(200)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_1} (2|0|0), Sx2(0-30)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_2}(0|\text{-}3|0) und Sx3(001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S_{x_3}(0|0|1)

Mithilfe der Spurpunkte wird eine Parametergleichung der Ebene aufgestellt:

E ⁣:x=(200)+r ( -2-30)+s ( -201)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 2\\0\\0\end{array} \right) + r\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\1\end{array} \right)

Das Vektorprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor der Ebene:

nE=( -2-30)×( -201)=( 3-26)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n_E}= \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}2\\6\end{array} \right)


Der Normalenvektor der Ebene K\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} K kann der Ebenengleichung direkt entnommen werden. Die Untersuchung der Normalenvektoren zeigt, dass sie nicht linear abhängig sind:

nE=knF\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overrightarrow{n_E}=k\cdot\overrightarrow{n_F}

( 3-26)k ( -21-7)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{r} \ 3\\\text{-}2\\6\end{array} \right)≠k\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\1\\\text{-}7\end{array} \right)


\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \rArr Die Ebenen E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E und F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F schneiden sich.

Um die Schnittgerade zu bestimmen, werden die Werte der Koordinaten der Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E in die Ebene F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F eingesetzt:

-2(22r2s)+1(-3r)7(1s)= -3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{-}2\cdot(2-2r-2s)+1\cdot (\text{-}3r)-7 \cdot (1s) = \ \text{-}3

Die so entstandene Gleichung wird nach einer der beiden Variablen umgestellt:

-4+4r+4s3r7s=-3   +4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{-}4+4r+4s-3r-7s=\text{-}3\ \ \ |+4
1r3s=1   +3s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1r-3s=1\ \ \ |+3s
r=1+3s\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} r =1+3s

Der Parameter wird in die Ebene E\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} E eingesetzt:


g ⁣:x=( 200)+(1+3s) ( -2-30)+s ( -201)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) + (1+3s)\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right) +s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\1\end{array} \right)


Nun werden die Klammern aufgelöst und die Vektoren zusammengefasst:


g ⁣:x=( 200)+1 ( -2-30)+3s ( -2-30)+s ( -201)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) + 1\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+3s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\1\end{array} \right)


g ⁣:x=( 200)+( -2-30)+s ( -6-90)+s ( -201)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 2\\0\\0\end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}6\\\text{-}9\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}2\\0\\1\end{array} \right)


g ⁣:x=( 0-30)+s ( -8-91)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g\!: \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} \ 0\\\text{-}3\\0\end{array} \right)+s\ · \left( \begin{array}{r} \ \text{-}8\\\text{-}9\\1\end{array} \right)