a)

$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& 2x_1& +& 1x_2& +& 1x_3& =& 3\\ II.& \text{-}2x_1& -& 1x_2& +& 1x_3& =& \text{-}7\\ III.& \text{-}2x_1& -& 2x_2& +& 3x_3& =& \text{-}12\end{array}$

b)

$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& 2x_1& & & -& 3x_3& =& 1\\ II.& \text{-}1x_1& +& 2x_2& & & =& 7\\ III.& 1x_1& -& 2x_2& +& 3x_3& =& \text{-}10\end{array}$

a) Stelle ein LGS auf, mit dem sich bestimmen lässt, um welche Geldstücke es sich bei den Sorten A, B und C handelt. Du brauchst es nicht zu berechnen.



b) Zeige mithilfe einer Probe, dass es sich bei den Sorten A, B und C um die Münzen 5 Cent,

20 Cent und 50 Cent handelt.

$\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& \text{-}1\\ 0& 0& a& b\end{array}\right)$

a) Ordne die Lösungsmengen den unterschiedlichen Fällen zu.

b) Gib ein Wertepaar a und b an, für das die Lösungsmenge L = {2; -1; 3} ist.

a) Die Aufgabe kann z. B. mit dem Gaußverfahren in der Matrixschreibweise gelöst werden:



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 1& 1& 3\\ \text{-}2& \text{-}1& 1& \text{-}7\\ \text{-}2& \text{-}2& 3& \text{-}12\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 1& 1& 3\\ 0& 0& 2& \text{-}4\\ 0& \text{-}1& 4& \text{-}9\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 1& 1& 3\\ 0& \text{-}1& 4& \text{-}9\\ 0& 0& 2& \text{-}4\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}8& 4& 4& 12\\ 0& \text{-}1& 4& \text{-}9\\ 0& 0& \text{-}4& 8\end{array}\right)$

$\begin{array}{l}\\ |I+II\\ |I+III\end{array}$

$\begin{array}{l}|:4\end{array}$

$\left(\begin{array}{rrrr}8& 4& 0& 20\\ 0& \text{-}1& 0& \text{-}1\\ 0& 0& 1& \text{-}2\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 1& 0& 5\\ 0& \text{-}1& 0& \text{-}1\\ 0& 0& 1& \text{-}2\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& \text{-}2\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& \text{-}2\end{array}\right)$



$\begin{array}{rl}L=& \{2;1;\text{-2}\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ |I+II\\ |:(\text{-}1)\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ |III\\ |II\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ |:2\end{array}$

$\begin{array}{l}|\cdot 4\\ \\ |\cdot (\text{-}2)\end{array}$

$\begin{array}{l}|I+III\\ |II+III\\ |:(\text{-}4)\end{array}$

b) Die Aufgabe kann ebenfalls mit dem Gaußverfahren in der Matrixschreibweise gelöst werden:



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 0& \text{-}3& 1\\ \text{-}1& 2& 0& 7\\ 1& \text{-}2& 3& \text{-}10\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 0& \text{-}3& 1\\ \text{-}1& 2& 0& 7\\ 0& 0& 3& \text{-}3\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}2& 0& 0& \text{-}2\\ \text{-}1& 2& 0& 7\\ 0& 0& 1& \text{-}1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& \text{-}1\\ \text{-}1& 2& 0& 7\\ 0& 0& 1& \text{-}1\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& \text{-}1\\ 0& 2& 0& 6\\ 0& 0& 1& \text{-}1\end{array}\right)$



$\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& \text{-}1\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& \text{-}1\end{array}\right)$



$\begin{array}{rl}L=& \{\text{-}1;3;\text{-1}\}\end{array}$

$\begin{array}{l}|I+II\end{array}$

$\begin{array}{l}|II+III\end{array}$

$\begin{array}{l}|I+III\\ \\ |:3\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ |:2\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ |:2\end{array}$

a)

$\begin{array}{rlrlrlrl}I.& 6A& +& 2B& +& 1C& =& 1,20\\ II.& 4A& & & +& 2C& =& 1,20\\ III.& 8A& +& 1B& +& 1C& =& 1,10\\ & & & & & & & \\ I.& 6\cdot 0,05& +& 2\cdot 0,20& +& 1\cdot 0,50& =& 1,20✓\\ II.& 4\cdot 0,05& & & +& 2\cdot 0,50& =& 1,20✓\\ III.& 8\cdot 0,05& +& 1\cdot 0,20& +& 1\cdot 0,50& =& 1,10✓\end{array}$

b)

a)

a = 0; b = 0 gehört zu L = {2; -1; x₃}

a = 0; b ≠ 0 gehört zu L = { }

a = 1; b = 0 gehört zu L = {2; -1; 0}

b)

L = {2; -1; 3} gehört z. B. zu a = 1; b = 3

Bedingungen:

I. f(1) = -5

II. f'(0) = -1

III. f''(2) = 0

IV. f(0) = 1



Allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d



LGS:

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}I.& 1a& +& 1b& +& 1c& +& 1d& =& \text{-5}\\ II.& & & & & & & 1d& =& 1\\ III.& 12a& +& 2b& & & & & =& 0\\ IV.& & & & & 1c& & & =& \text{-1}\end{array}$



Lösen des LGS ergibt:

$\begin{array}{rl}L=& \{1;\text{-6};\text{-1};1\}\end{array}$



Die Funktionsgleichung lautet:

f(x) = 1x³ – 6x² – 1x + 1