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  • 21.04.2021
  • Mathematik
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1
Löse das LGS und gib die Lösungsmenge an.

a)
I.   2x1+  1x2+  1x3=    3I ⁣I.  -2x1  1x2+  1x3=   -7I ⁣I ⁣I.  -2x1  2x2+  3x3= -12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 3\\ I\!I.\ \ &\text{-}2x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-}7\\ I\!I\!I.\ \ &\text{-}2x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 3x_3&=&\ \text{-} 12 \end{aligned}

b)
I.   2x1  3x3=    1I ⁣I.   -1x1+  2x2=    7I ⁣I ⁣I.    1x1  2x2+  3x3= -10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&&&-&\ \ 3x_3&=&\ \ \ \ 1\\ I\!I.\ \ &\ \text{-} 1x_1&+&\ \ 2x_2&&&=&\ \ \ \ 7\\ I\!I\!I.\ \ &\ \ 1x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 3x_3&=&\ \text{-}10 \end{aligned}

2
Die Geschwister Tim, Tina und Tomte haben von ihrem Onkel etwas Geld zugesteckt bekommen. Nun zählen sie zusammen, wie viel es ist. Tim sagt: „Ich habe 6 Münzen der Sorte A, 2 Münzen der Sorte B und 1 Münze der Sorte C. Insgesamt habe ich 1,20 €.“ Tina antwortet: „Ich habe gleich viel Geld, allerdings habe ich andere Münzen. Ich habe 4 Münzen der Sorte A und 2 Münzen der Sorte C.“ „Nicht zu fassen!“, empört sich Tomte, „Ich habe zwar am meisten Münzen, aber trotzdem nur 1,10 € bekommen. Ich habe 8 Münzen der Sorte A, 1 Münze der Sorte B und 1 Münze der Sorte C.“

a) Stelle ein LGS auf, mit dem sich bestimmen lässt, um welche Geldstücke es sich bei den Sorten A, B und C handelt. Du brauchst es nicht zu berechnen.


b) Zeige mithilfe einer Probe, dass es sich bei den Sorten A, B und C um die Münzen 5 Cent,
20 Cent und 50 Cent handelt.

3
Gegeben ist das folgende LGS abhängig von a und b in Matrixschreibweise.

(1002010-100ab)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}1 \\ 0 & 0 & a & b \\ \end{array} \right)

a) Ordne die Lösungsmengen den unterschiedlichen Fällen zu.

  • a = 0; b = 0
    1
  • a = 0; b ≠ 0
    2
  • a = 1; b = 0
    3
  • L = {2; -1; 0}
  • L = {2; -1; x3}
  • L = { }

b) Gib ein Wertepaar a und b an, für das die Lösungsmenge L = {2; -1; 3} ist.

4
Eine Funktion 3. Grades geht durch den Punkt P (1|-5), schneidet die y-Achse bei 1 und hat bei x = 2 eine Wendestelle. Die Steigung bei x = 0 ist -1.
Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion.

Musterlösung

Bitte beachte, dass die Musterlösung beispielhafte Rechenwege zeigt. Teilweise sind alternative Rechenwege möglich.

1

a) Die Aufgabe kann z. B. mit dem Gaußverfahren in der Matrixschreibweise gelöst werden:


(2113-2-11-7-2-23-12)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 3 \\ \text{-}2 & \text{-}1 & 1 & \text{-}7 \\ \text{-}2 & \text{-}2 & 3 & \text{-}12 \\ \end{array} \right)


(2113002-40-14-9)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & \text{-}4 \\ 0 & \text{-}1 & 4 & \text{-}9 \\ \end{array} \right)


(21130-14-9002-4)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & \text{-}1 & 4 & \text{-}9 \\ 0 & 0 & 2 & \text{-}4 \\ \end{array} \right)


(844120-14-900-48)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 8 & 4 & 4 & 12 \\ 0 & \text{-}1 & 4 & \text{-}9 \\ 0 & 0 & \text{-}4 & 8 \\ \end{array} \right)

 I+I ⁣I I+I ⁣I ⁣I\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} \\ |\ I+I\!I\\ |\ I+I\!I\!I \end{array}

 :4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ :4 \\ \end{array}

(840200-10-1001-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 8 & 4 & 0 & 20 \\ 0 & \text{-}1 & 0 & \text{-}1 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}2 \\ \end{array} \right)

(21050-10-1001-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & \text{-}1 & 0 & \text{-}1 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}2 \\ \end{array} \right)


(20040101001-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}2 \\ \end{array} \right)


(10020101001-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}2 \\ \end{array} \right)


L={2;1;-2}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{2;1;\text{-2}\}\\ \end{aligned}

 I+I ⁣I :(-1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} \\ |\ I+I\!I\\ |\ :(\text{-}1) \end{array}

 I ⁣I ⁣I I ⁣I\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} \\ |\ I\!I\!I\\ |\ I\!I \end{array}

 :2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} \\ |\ :2 \end{array}

 4 (-2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ ·4 \\ \\ |\ ·(\text{-}2) \end{array}

 I+I ⁣I ⁣I I ⁣I+I ⁣I ⁣I:(-4)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!I\!I\\ |\ I\!I+I\!I\!I\\ |: (\text{-}4) \end{array}

b) Die Aufgabe kann ebenfalls mit dem Gaußverfahren in der Matrixschreibweise gelöst werden:


(20-31-12071-23-10)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & \text{-}3 & 1 \\ \text{-}1 & 2 & 0 & 7 \\ 1 & \text{-}2 & 3 & \text{-}10 \\ \end{array} \right)

(20-31-1207003-3)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & \text{-}3 & 1 \\ \text{-}1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & \text{-}3 \\ \end{array} \right)


(200-2-1207001-1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & 0 & \text{-}2 \\ \text{-}1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}1 \\ \end{array} \right)

(100-1-1207001-1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & \text{-}1 \\ \text{-}1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}1 \\ \end{array} \right)

(100-10206001-1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & \text{-}1 \\ 0& 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}1 \\ \end{array} \right)


(100-10103001-1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & \text{-}1 \\ 0& 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}1 \\ \end{array} \right)


L={-1;3;-1}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{\text{-}1;3;\text{-1}\}\\ \end{aligned}

 I+I ⁣I\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!I \end{array}

 I ⁣I+I ⁣I ⁣I\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I\!I+I\!I\!I\\ \end{array}

 I+I ⁣I ⁣I:3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} |\ I+I\!I\!I\\ \\ |: 3 \end{array}

 :2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} \\ |\ :2 \end{array}

 :2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{array}{ll} \\ |\ :2 \end{array}

2

a)
I.   6A+  2B+  1C=  1,20I ⁣I.   4A  +  2C=  1,20I ⁣I ⁣I.   8A+  1B+  1C=  1,10I.  6 0,05+  2 0,20+  1 0,50=  1,20 I ⁣I.  4 0,05+  2 0,50=  1,20 I ⁣I ⁣I.  8 0,05+  1 0,20+  1 0,50=  1,10 \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 6A&+&\ \ 2B&+&\ \ 1C&=&\ \ 1{,}20 \\ I\!I.\ \ &\ 4A &&\ \ &+&\ \ 2C&=&\ \ 1{,}20\\ I\!I\!I.\ \ &\ 8A&+&\ \ 1B&+&\ \ 1C&=&\ \ 1{,}10 \\ \\ I.\ &\ 6\ ·0{,}05 &+&\ \ 2\ ·0{,}20&+&\ \ 1\ ·0{,}50 &=&\ \ 1{,}20\ \checkmark \\ I\!I.\ &\ 4\ ·0{,}05 &&&+&\ \ 2\ ·0{,}50&=&\ \ 1{,}20 \ \checkmark \\ I\!I\!I.\ &\ 8\ ·0{,}05&+&\ \ 1\ ·0{,}20&+&\ \ 1\ ·0{,}50&=&\ \ 1{,}10\ \checkmark \end{aligned}

b)

3

a)

a = 0; b = 0 gehört zu L = {2; -1; x3}

a = 0; b ≠ 0 gehört zu L = { }

a = 1; b = 0 gehört zu L = {2; -1; 0}

b)

L = {2; -1; 3} gehört z. B. zu a = 1; b = 3

4

Bedingungen:

I. f(1) = -5

II. f'(0) = -1

III. f''(2) = 0

IV. f(0) = 1

Allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

LGS:
I.   1a+  1b+  1c+ 1d=   -5I ⁣I.   1d=    1I ⁣I ⁣I.  12a+  2b=    0I ⁣V.    1c=   -1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 1a&+&\ \ 1b&+&\ \ 1c&+&\ 1d&=&\ \ \ \text{-5}\\ I\!I.\ \ &&&&&&&\ 1d&=&\ \ \ \ 1\\ I\!I\!I.\ \ &12a&+&\ \ 2b&&&&&=&\ \ \ \ 0\\ I\!V.\ \ &&&&&\ \ 1c&&&=&\ \ \ \text{-1}\\ \end{aligned}


Lösen des LGS ergibt:
L={1;-6;-1;1}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{aligned} L= &\{1; \text{-6}; \text{-1}; 1\}\\ \end{aligned}


Die Funktionsgleichung lautet:
f(x) = 1x³ – 6x² – 1x + 1