• Unterschiedliche Lösungsmengen
  • MNWeG
  • 07.02.2022
  • Mathematik
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1
Zeige, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, indem du das LGS in die Matrixschreibweise überführst und dann versuchst, eine Einheitsmatrix zu bilden.
(23-250-2310000)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 3 & \text{-}2 & 5 \\ 0 & \text{-}2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)

I.   2x1+  3x2  2x3=    5I ⁣I.   2x1+  1x2+  1x3=    6I ⁣I ⁣I.   8x1+  8x2  2x3=  22\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 3x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \ 5\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 6\\ I\!I\!I.\ \ &\ 8x_1&+&\ \ 8x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 22 \end{aligned}

2
Zeige, dass das LGS keine Lösung hat, indem du das LGS in die Matrixschreibweise überführst und dann versuchst, eine Einheitsmatrix zu bilden.

I.   4x1+  3x2  2x3=    6I ⁣I.   2x1+  2x2+  1x3=    5I ⁣I ⁣I.   8x1+  6x2  4x3=  10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 4x_1&+&\ \ 3x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \ 6\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 5\\ I\!I\!I.\ \ &\ 8x_1&+&\ \ 6x_2&-&\ \ 4x_3&=&\ \ 10 \end{aligned}

(43-260144000-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & 3 & \text{-}2 & 6 \\ 0 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-1} \\ \end{array} \right)
3
Die LGS wurden in Matrixschreibweise überführt und dann, sofern möglich, die Einheitsmatrizen gebildet. Gib die Lösungsmengen für die LGS an.
a)
b)
c)

(1006010-20010)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)

(1020010-30000)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)

(101101230002)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)

a) L={6;-2; 0}   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ L= \{6; \text{-2; 0}\}\ \ \ b)  L={-2x3;-3;x3}   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ L= \{\text{-2}x_3; \text{-3}; x_3\}\ \ \ c)  L={ }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ L= \{\ \}
4
a) Zeige mithilfe einer Probe, dass die Lösungsmenge nicht alle Gleichungen des LGS erfüllt.

b) Erläutere, welche Konsequenzen das für die Lösungsmenge hat.

a)
I.  3 2  4 3+  2 (-1)=   -8 I ⁣I. -2 2+  1 3  1 (-1)=    0 I ⁣I ⁣I.  6 2+  2 3  2 (-1)  18I ⁣V.  3 2+  1 3+  1 (-1)=    8 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ &\ 3\ ·2 &-&\ \ 4\ ·3&+&\ \ 2\ ·(\text{-}1) &=&\ \ \ \text{-} 8\ \checkmark \\ I\!I.\ &\text{-2}\ ·2 &+&\ \ 1\ ·3&-&\ \ 1\ ·(\text{-}1)&=&\ \ \ \ 0 \ \checkmark \\ I\!I\!I.\ &\ 6\ ·2&+&\ \ 2\ ·3 &-&\ \ 2\ ·(\text{-1})&≠&\ \ 18\\ I\!V.\ &\ 3\ ·2&+&\ \ 1\ ·3 &+&\ \ 1\ ·(\text{-1})&=&\ \ \ \ 8 \ \checkmark \\ \end{aligned}
b) Die Lösungsmenge ist falsch, da sie nicht für alle Gleichungen gilt. Stattdessen hat das LGS eine leere Lösungsmenge: L={}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L = \{ \}

I.   3x1  4x2+  2x3=  -8I ⁣I.  -2x1+  1x2  1x3=   0I ⁣I ⁣I.   6x1+  2x2  2x3= 18I ⁣V.   3x1+  1x2+  1x3=   8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 3x_1&-&\ \ 4x_2&+&\ \ 2x_3&=&\ \ \text{-8}\\ I\!I.\ \ &\text{-} 2x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ \ 0\\ I\!I\!I.\ \ &\ 6x_1&+&\ \ 2x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ 18\\ I\!V.\ \ &\ 3x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ 8\\ \end{aligned}

L={2;3;-1}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{2;3; \text{-1}\}\\ \end{aligned}

5
Gib an, welche Werte a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a und b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b annehmen müssen, damit das zur Matrix gehörende LGS keine, genau eine beziehungsweise unendlich viele Lösungen hat.

(1003010-200ab)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}2 \\ 0 & 0 & a & b \\ \end{array} \right)

Für a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a ≠ 0 hat das LGS genau eine Lösung, für a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a = 0 und b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b ≠ 0 hat das LGS keine Lösung und für a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a = 0 und b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b = 0 hat das LGS unendlich viele Lösungen.
6
Das folgende LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen hat unendlich viele Lösungen.

I.   2x1+  1x2  2x3=  2I ⁣I.   2x1 +  2x3=  4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 2\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&&\ &+&\ \ 2x_3&=&\ \ 4\\ \end{aligned}

a) Gib die Lösungsmenge in Abhängigkeit von der Variable x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 an.

b) Berechne die Werte der Variablen x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 und x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3, wenn x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1= 1 ist.

a) L={x1;64x1;2x1} \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L=\{x_1; 6-4x_1; 2-x_1\}\ b) x1=1;x2=2;x3=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1=1; x_2=2;x_3=1
7
Gegeben ist das folgende LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen.
a) (4-244000-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & \text{-}2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}2 \\ \end{array} \right)

b) z. B.
I.   4x1  2x2+  4x3=  4I ⁣I.   2x1 +  2x3=  3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 4x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 4x_3&=&\ \ 4\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&&&\ +&\ \ 2x_3&=&\ \ 3\\ \end{aligned}

I.   4x1  2x2+  4x3=  4I ⁣I.   2x1  1x2+  2x3=  3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 4x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 4x_3&=&\ \ 4\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 2x_3&=&\ \ 3\\ \end{aligned}

a) Zeige, dass das LGS eine leere Lösungsmenge hat.

b) Ändere eine Stelle im LGS, sodass das LGS unendlich

viele Lösungen hat.

8
Ermittle die Lösungsmenge des LGS.

I.   2x1+  3x2+  1x3=  2I ⁣I.   1x1  4x2  2x3=  4I ⁣I ⁣I.   4x1  5x2  3x3=  8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 3x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ 2\\ I\!I.\ \ &\ 1x_1&-&\ \ 4x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 4\\ I\!I\!I.\ \ &\ 4x_1&-&\ \ 5x_2&-&\ \ 3x_3&=&\ \ 8\\ \end{aligned}

a)

a) L={ }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L = \{\ \}
b) L={x1;2+x1;4+3x1}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L=\{x_1; 2+x_1; 4+3x_1\}
c) L={-3;2;5}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} L=\{\text{-}3;2;5\}

b)

I.    x1+  5x2  2x3=  2I ⁣I.   2x1+  4x2  2x3=  0I ⁣I ⁣I.   -x1+  1x2  =  2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ \ x_1&+&\ \ 5x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 2\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 4x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 0\\ I\!I\!I.\ \ &\ \text{-}x_1&+&\ \ 1x_2&&\ \ &=&\ \ 2\\ \end{aligned}

c)

I.   2x1+  3x2   x3=    5I ⁣I.    x1  2x2+   x3=   -2I ⁣I ⁣I.   2x1   x2  2x3= -18I ⁣V.   -x1+  2x2+   x3=  12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 3x_2&-&\ \ \ x_3&=&\ \ \ \ 5\\ I\!I.\ \ &\ \ x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ \ x_3&=&\ \ \ \text{-}2\\ I\!I\!I.\ \ &\ 2x_1&-&\ \ \ x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \text{-}18\\ I\!V.\ \ &\ \text{-}x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ \ x_3&=&\ \ 12\\ \end{aligned}

9
Gib ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen an, dass die vorgegebene Lösungsmenge hat.
z. B.
I.   1x1+  1x2  1x3=    9I ⁣I.   1x1+  1x2+  1x3=    3I ⁣I ⁣I.   1x1  1x2+  1x3=   -7\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 9\\ I\!I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 3\\ I\!I\!I.\ \ &\ 1x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-7} \end{aligned}

L={1;5;-3}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{1;5; \text{-3}\}\\ \end{aligned}