• Unterschiedliche Lösungsmengen
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  • 07.02.2022
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1
Ordne den Matrizen die richtige Lösungsmenge zu und gib an, ob das zugehörige LGS keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat.
(1)

L={1x3;-7x3;x3}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{1-x_3; \text{-7}-x_3; x_3\}\\ \end{aligned}

Das LGS hat keine Lösung.

(1001010-7000-5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}7 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}5 \\ \end{array} \right)

L={ }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{\ \}\\ \end{aligned}

Das LGS hat eine Lösung.

(2)

(1001010-7001-5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}7 \\ 0 & 0 & 1 & \text{-}5 \\ \end{array} \right)

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

L={1;-7; -5}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{1; \text{-7; -5}\}\\ \end{aligned}

(3)
(1) keine Lösung, L ={ }
(2) eine Lösung, L = {1; -7, -5}
(3) unendlich viele Lösungen, L = {1 – x3; -7 – x3; x3}

(1001010-70000)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)

2
Zeige, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, indem du das LGS in die Matrixschreibweise überführst und dann versuchst, eine Einheitsmatrix zu bilden.

I.   2x1+  3x2  2x3=    5I ⁣I.   2x1+  1x2+  1x3=    6I ⁣I ⁣I.   8x1+  8x2  2x3=  22\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 3x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \ 5\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 6\\ I\!I\!I.\ \ &\ 8x_1&+&\ \ 8x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 22 \end{aligned}

(23-250-2310000)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 3 & \text{-}2 & 5 \\ 0 & \text{-}2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)
3
Zeige, dass das LGS keine Lösung hat, indem du das LGS in die Matrixschreibweise überführst und dann versuchst, eine Einheitsmatrix zu bilden.

I.   4x1+  3x2  2x3=    6I ⁣I.   2x1+  2x2+  1x3=    5I ⁣I ⁣I.   8x1+  6x2  4x3=  10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 4x_1&+&\ \ 3x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ \ \ 6\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 2x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 5\\ I\!I\!I.\ \ &\ 8x_1&+&\ \ 6x_2&-&\ \ 4x_3&=&\ \ 10 \end{aligned}

(43-260144000-1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & 3 & \text{-}2 & 6 \\ 0 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-1} \\ \end{array} \right)
4
Die LGS wurden in Matrixschreibweise überführt und dann, sofern möglich, die Einheitsmatrizen gebildet. Gib die Lösungsmengen für die LGS an.
a)
b)
c)

(1006010-20010)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)

(1020010-30000)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \text{-}3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)

(101101230002)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)

a) L={6;-2; 0}   b) L={-2x3;-3;x3}   c) L={ }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} a) \ L= \{6; \text{-2; 0}\}\ \ \ b) \ L= \{\text{-2}x_3; \text{-3}; x_3\}\ \ \ c) \ L= \{\ \} \end{aligned}
5
a) Zeige mithilfe einer Probe, dass die Lösungsmenge nicht alle Gleichungen des LGS erfüllt.

b) Erläutere, welche Konsequenzen das für die Lösungsmenge hat.

a)
I.  3 2  4 3+  2 (-1)=   -8 I ⁣I. -2 2+  1 3  1 (-1)=    0 I ⁣I ⁣I.  6 2+  2 3  2 (-1)  18I ⁣V.  3 2+  1 3+  1 (-1)=    8 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ &\ 3\ ·2 &-&\ \ 4\ ·3&+&\ \ 2\ ·(\text{-}1) &=&\ \ \ \text{-} 8\ \checkmark \\ I\!I.\ &\text{-2}\ ·2 &+&\ \ 1\ ·3&-&\ \ 1\ ·(\text{-}1)&=&\ \ \ \ 0 \ \checkmark \\ I\!I\!I.\ &\ 6\ ·2&+&\ \ 2\ ·3 &-&\ \ 2\ ·(\text{-1})&≠&\ \ 18\\ I\!V.\ &\ 3\ ·2&+&\ \ 1\ ·3 &+&\ \ 1\ ·(\text{-1})&=&\ \ \ \ 8 \ \checkmark \\ \end{aligned}
b) Die Lösungsmenge ist falsch, da sie nicht für alle Gleichungen gilt. Stattdessen hat das LGS eine leere Lösungsmenge: L = { }

I.   3x1  4x2+  2x3=  -8I ⁣I.  -2x1+  1x2  1x3=   0I ⁣I ⁣I.   6x1+  2x2  2x3= 18I ⁣V.   3x1+  1x2+  1x3=   8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 3x_1&-&\ \ 4x_2&+&\ \ 2x_3&=&\ \ \text{-8}\\ I\!I.\ \ &\text{-} 2x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ \ 0\\ I\!I\!I.\ \ &\ 6x_1&+&\ \ 2x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ 18\\ I\!V.\ \ &\ 3x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ 8\\ \end{aligned}

L={2;3;-1}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{2;3; \text{-1}\}\\ \end{aligned}

6
Das folgende LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen hat unendlich viele Lösungen.
a) L = {x1; 6 – 4x1; 2 – x1}
b) x1 = 1; x2 = 2; x3 = 1

I.   2x1+  1x2  2x3=  2I ⁣I.   2x1 +  2x3=  4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 2\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&&\ &+&\ \ 2x_3&=&\ \ 4\\ \end{aligned}

a) Gib die Lösungsmenge in Abhängigkeit von der Variable x1 an.

b) Berechne die Werte der Variablen x2 und x3, wenn x1 = 1 ist.

7
Gegeben ist das folgende LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen.
a) (4-244000-2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \\\left( \begin{array}{rrr|r} 4 & \text{-}2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \text{-}2 \\ \end{array} \right)

b) z. B.
I.   4x1  2x2+  4x3=  4I ⁣I.   2x1 +  2x3=  3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 4x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 4x_3&=&\ \ 4\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&&&\ +&\ \ 2x_3&=&\ \ 3\\ \end{aligned}

I.   4x1  2x2+  4x3=  4I ⁣I.   2x1  1x2+  2x3=  3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 4x_1&-&\ \ 2x_2&+&\ \ 4x_3&=&\ \ 4\\ I\!I.\ \ &\ 2x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 2x_3&=&\ \ 3\\ \end{aligned}

a) Zeige, dass das LGS eine leere Lösungsmenge hat.

b) Ändere eine Stelle im LGS, sodass das LGS unendlich

viele Lösungen hat.

8
Ermittle die Lösungsmenge des LGS.

I.   2x1+  3x2+  1x3=  2I ⁣I.   1x1  4x2  2x3=  4I ⁣I ⁣I.   4x1  5x2  3x3=  8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 2x_1&+&\ \ 3x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ 2\\ I\!I.\ \ &\ 1x_1&-&\ \ 4x_2&-&\ \ 2x_3&=&\ \ 4\\ I\!I\!I.\ \ &\ 4x_1&-&\ \ 5x_2&-&\ \ 3x_3&=&\ \ 8\\ \end{aligned}

L={ }\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{\ \}\\ \end{aligned}
9
Gib ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen an, dass die vorgegebene Lösungsmenge hat.
z. B.
I.   1x1+  1x2  1x3=    9I ⁣I.   1x1+  1x2+  1x3=    3I ⁣I ⁣I.   1x1  1x2+  1x3=   -7\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 1x_2&-&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 9\\ I\!I.\ \ &\ 1x_1&+&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \ 3\\ I\!I\!I.\ \ &\ 1x_1&-&\ \ 1x_2&+&\ \ 1x_3&=&\ \ \ \text{-7} \end{aligned}

L={1;5;-3}\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{aligned} L= &\{1;5; \text{-3}\}\\ \end{aligned}