• Wiederholung: Erweitern und kürzen
  • MNWeG
  • 28.01.2022
  • Mathematik
  • Bruchrechnen
  • M (Mindeststandard)
  • 7
  • Information
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
Wichtig

Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist ein ganz wichtiges Element des Bruchrechnens. Es ist also wirklich, wirklich wichtig, dass du verstehst, wie das funktioniert!

Brüche erweitern

Brüche werden erweitert, indem man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert:

342268442432\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{4}\xrightarrow[\cdot2]{\cdot2}\frac{6}{8}\xrightarrow[\cdot4]{\cdot4}\frac{24}{32}

Aber wird dann der Wert des Bruches nicht größer, wenn ich ihn erweitere?


Nein! Beim Erweitern eines Bruches wird der Wert nicht verändert. Sehen wir uns das wieder am Beispiel eines Kuchens an:

Dieser Kuchen ist in 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5 Stücke eingeteilt.
Die blau eingefärbten Stücke sind 35\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \bold{\frac{3}{5}} des Kuchens.


Nun erweitern wir den Bruch mit der Zahl 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2:         3522610\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3}{5}\xrightarrow[\cdot2]{\cdot2}\frac{6}{10}


Der Kuchen hat nun doppelt so viele Stücke (vorher 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5, jetzt 10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 10) , dafür sind die Stücke aber nur noch halb so groß (vorher 15\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{5}, jetzt 110\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{10}).


Am Kuchen links siehst du, dass der blau eingefärbte Teil gleich groß ist.

Beim Erweitern verändert sich der Wert eines Bruches also nicht!
Es ist vollkommen egal, ob du 35\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{5} oder 610\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{6}{10} des Kuchen bekommst - beides ist gleich viel!

Beispiele:

3522610\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{5}\xrightarrow[\cdot2]{\cdot2}\bold{\frac{6}{10}}
12255570125\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{12}{25}\xrightarrow[\cdot5]{\cdot5}\bold{\frac{70}{125}}

Erweitere 35\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{5} mit 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2:

Erweitere 1225\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{12}{25} mit 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5:

49441636\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{4}{9}\xrightarrow[\cdot4]{\cdot4}\bold{\frac{16}{36}}
89332427\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{8}{9}\xrightarrow[\cdot3]{\cdot3}\bold{\frac{24}{27}}

Erweitere 49\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{4}{9} mit 4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 4:

Erweitere 89\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{8}{9} mit 3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3:

49662448\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{4}{9}\xrightarrow[\cdot6]{\cdot6}\bold{\frac{24}{48}}
1677742\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{6}\xrightarrow[\cdot7]{\cdot7}\bold{\frac{7}{42}}

Erweitere 312\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{12} mit 6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6:

Erweitere 16\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{6} mit 7\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 7:

Brüche kürzen

Brüche werden gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividiert:

Grundsätzlich gilt, dass Brüche immer so weit wie möglich gekürzt werden (insbesondere beim Ergebnis)!

2432:2:21216:4:434\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{24}{32}\xrightarrow[:2]{:2}\frac{12}{16}\xrightarrow[:4]{:4}\frac{3}{4}

Um Brüche zu kürzen, multipliziert man den Zähler und Nenner nicht mit der gleichen Zahl, sondern man dividiert ihn!

Aber wird dann der Wert des Bruches nicht kleiner, wenn ich ihn kürze?


Nein! Beim Kürzen eines Bruches wird der Wert nicht verändert. Wir sehen uns das nochmal am Beispiel des Kuchens an:

Dieser Kuchen ist in 10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 10 Stücke eingeteilt.
Die blau eingefärbten Stücke sind 610\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \bold{\frac{6}{10}} des Kuchens.


Nun kürzen wir den Bruch mit der Zahl 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2 (denn sowohl Nenner als auch Zähler sind durch 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2 teilbar):         610:2:235\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{6}{10}\xrightarrow[:2]{:2}\frac{3}{5}


Der Kuchen hat nun halb so viele Stücke (vorher 10\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 10, jetzt 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5) , dafür sind die Stücke aber auch doppelt so groß (vorher 110\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{10}, jetzt 15\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{5})!


Am Kuchen links siehst du, dass der blau eingefärbte Teil gleich groß ist!

Beim Kürzen verändert sich der Wert eines Bruches also nicht!
Es ist vollkommen egal, ob du 610\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{6}{10} oder 35\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{5} des Kuchen bekommst - beides ist gleich viel!

Beispiele:

68:2:234\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{6}{8}\xrightarrow[:2]{:2}\bold{\frac{3}{4}}
1015:5:523\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{10}{15}\xrightarrow[:5]{:5}\bold{\frac{2}{3}}

Kürze 68\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{6}{8} mit 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2:

Kürze 1015\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{10}{15} mit 5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5:

39:3:313\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{9}\xrightarrow[:3]{:3}\bold{\frac{1}{3}}
4249:7:767\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{42}{49}\xrightarrow[:7]{:7}\bold{\frac{6}{7}}

Kürze 4249\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{42}{49} mit 7\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 7:

Kürze 39\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{9} mit 3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3:

1830:6:635\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{18}{30}\xrightarrow[:6]{:6}\bold{\frac{3}{5}}
2480:8:8310\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{24}{80}\xrightarrow[:8]{:8}\bold{\frac{3}{10}}

Kürze 1830\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{18}{30} mit 6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6:

Kürze 2480\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{24}{80} mit 8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 8: