• Lineare Gleichungssysteme
  • StefanieWolf
  • 20.05.2022
  • Mathematik
  • R (Regelstandard)
  • 10
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Wiederholung

Schau dir die folgenden Videos von Studyfix zur Wiederholung Lineare Gleichungssysteme bzw. speziell das Gleichsetzungsverfahren an.
Alternativ kannst du in der kurzen Zusammenfassung im Lehrbuch Schnittpunkt Kl. 10 auf Seite 154 nachlesen.

1
Löse das Gleichungssystem zeichnerisch.
  • y = -x + 6
    y = 2x + 3
Lösung1
L = {(1; 5)}
-4-3-2-11234x-4-3-2-1123456yoriginOP(1; 5)f(x) = y = 2x + 3f(x) = y = - x + 6
2
Löse die Gleichungssysteme rechnerisch.
  • y = -x -7
    y = -x + 3
  • -2x + y = 3
    4x + 2y = 2
Lösung2
a)
Gleichsetzungsverfahren:
-x - 7 = -x + 3
-7 = - 3

Widerspruch \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow Gleichungen sind parallel \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow L = { }

b)
Umstellen nach y:
-2x + y = 3 I + 2x
y = 3 + 2x

4x + 2y = 2 I - 4x
2y = 2 - 4x I : 2
y = 1 - 2x

Gleichsetzungsverfahren
3 + 2x = 1 - 2x I + 2x, - 3
4x = -2 I : 4
x = -0,5

-2 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} {\cdot} -0,5 + y = 5
1 + y = 5
y = 4

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow L = {(-0,5; 4)}
3
Löse die folgenden Prüfungsaufgaben.
a)
Löse Sie das Gleichungssystem.
y + 3 = x
2y + 4x = 6
Lösunga)
Umstellen nach y:
y + 3 = x
y = x - 3

2y + 4x = 6
2y = 6 - 4x
y = 3 - 2x

Gleichsetzungsverfahren
x - 3 = 3 - 2x
3x = 6
x = 2

y + 3 = 2
y = -1

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow L = {(2; -1)}
-1123x-3-2-1123yoriginOP(2 -1)y= 3 -2xf(x) = y = x - 3
b)
Gegeben ist eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems.
y = 3x -1
Ermitteln Sie eine zweite Gleichung so, dass das Gleichungssystem die Lösung (1I2) hat.
Lösungb)
y = m \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot x + n
P(1; 2) einsetzen:

2 = m \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot 1 + n
2 = m + n

m und n frei wählen:
m = 1, n = 1
Lösung z.B.: y = x + 1
-1123x-1123yoriginOf(x) =y = x + 1) P(1; 2)f(x) = y= 3x - 1
c)
Stromanbieter A berechnet für jede Kilowattstunde 27 Cent und einen jährlichen Grundpreis von 320 €. Der Stromanbieter B berechnet für jede Kilowattstunde 32 Cent und 180 € jährlichen Grundpreis.

a) Familie Fuchs bezieht ihren Strom von Anbieter B und bezahlte im letzten jahr 1300 €.
Berechnen Sie die Anzahl der Kilowattstunden, die Familie Fuchs im letzten Jahr brauchte.

b) Ermitteln Sie die Anzahl der Kilowattstunden, bei der der Preis von beiden Anbietern gleich ist.
Lösungc)
a)
1300 = 0,32 \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot x + 180
1120 = 0,32x
3500 = x
Die Familie brauchte 3500 Kilowattstunden.

b)
y = 0,27x + 320
y = 0,32x + 180

Gleichsetzen:
0,27x + 320 = 0,32x + 180
140 = 0,05x
x = 2800
Der Preis ist bei 2800 Kilowattstunden gleich.