• Umgekehrte proportionale Zuordnungen
  • StefanieWolf
  • 26.09.2023
  • Mathematik
  • Funktionen
  • R (Regelstandard)
  • 7
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Wie­der­ho­lung: Um­ge­kehrt pro­por­tio­na­le Zu­ord­nun­gen

1
Wenn drei Hand­wer­ker zwei Tage für eine Ar­beit be­nö­ti­gen (z.B. Bo­den­flie­sen ver­le­gen), wie lange würde dann ein Hand­wer­ker be­nö­ti­gen?
Ein Hand­wer­ker braucht na­tür­lich län­ger. Klar - oder? Und zwar in die­sem Fall drei­mal so lang, also 2 Tage mal 3 = 6 Tage.
Das nann­ten wie um­ge­kehrt pro­por­tio­na­le Zu­ord­nung oder an­ti­pro­por­tio­na­le Zu­ord­nung.

Zu­ord­nung:
An­zahl Hand­wer­ker be­nö­tig­te Zeit für eine be­stimm­te Ar­beit in Tage

Über­tra­ge die Ta­bel­le und setze sie für 2 und 4 Hand­wer­ker fort.

Anzahl Handwerker

3

1

2

4

5

6

Zeit in Tage

2

6

2

1,5

1,2

1

2
Be­ant­wor­te die fol­gen­den Fra­gen.
  • Wie ver­än­dert sich die Zeit, wenn sich die Zahl der Ar­bei­ter ver­dop­pelt, ver­drei­facht? die Zeit halbiert, drittelt..sich
  • Wie ver­än­dert sich die Zeit, wenn sich die Zahl der Ar­bei­ter hal­biert, drit­telt? die Zeit verdoppelt, verdreifacht.....sich
3
Schau dir das fol­gen­de Er­klär­vi­deo zur Wie­der­ho­lung an.
4
Ver­fol­ge den Link und löse die in­ter­ak­ti­ven Auf­ga­be.
Um­ge­kehrt prop. Zu­ord­nung
(An­ti­pro­por­tio­na­le Zu­ord­nung)

Für eine um­ge­kehrt pro­por­tio­na­le Zu­ord­nung gilt:

Ver­dop­pelt, ver­drei­facht sich die erste Größe (Aus­gangs­grö­ße), so hal­biert, drit­telt sich die zwei­te Größe (zu­ge­ord­ne­te Größe) usw..

Hal­biert sich die erste Größe, so ver­dop­pelt sich die zwei­te Größe usw.

Neues ent­de­cken

5
Zeich­ne die Zu­ord­nung mit Hilfe der Wer­te­paa­re der Wert­e­ta­bel­le in ein recht­wink­li­ges Ko­or­di­na­ten­sys­tem. Ver­bin­de die Kreu­ze NICHT.
No­tie­re deine Be­ob­ach­tung. Kreuze liegen nicht mehr auf einer Geraden
123456Anzahl 123456Zeit in doriginO

Ord­nen und In­for­mie­ren

Graph der Um­ge­kehrt Pro­por­tio­na­len Zu­ord­nung

Ver­bin­det man die Kreu­ze im Ko­or­di­na­ten­sys­tem, ent­steht eine Kurve, die die Ach­sen nie be­rüh­ren wird.

Den Graph be­zeich­net man als Hy­per­bel.

Noch nicht alles ver­stan­den?

Dann lies im Lehr­buch Schnitt­punkt Klas­se 7 auf Seite 165 oder schau dir das Er­klär­vi­deo an.

No­tie­ren

8. Um­ge­kehrt por­po­tio­na­le Zu­ord­nun­gen dar­stel­len

Schrei­be unter der Über­schrift 8. Um­ge­kehrt por­por­tio­na­le Zu­ord­nun­gen dar­stel­len selb­stän­dig im Merk­teil auf, wie der Graph von um­ge­kehrt pro­por­tio­na­len Zu­ord­nun­gen aus­sieht und zeich­ne eine Hy­per­bel.

Üben

6
Die 60 Spiel­kar­ten eins Memory-​Spiels kön­nen als Recht­eck auf den Tisch ge­legt wer­den. Es gibt ver­schie­de­ne Mög­lich­kei­ten.
  • Ver­voll­stän­di­ge die Ta­bel­le.






  • Zeich­ne das Schau­bild.

Anzahl der Reihen

2

3

4

5

6

10

12

15

20

30

Anzahl der Karten je Reihe

30

20

15

12

10

6

5

4

3

2

x-​Achse: 1 Käst­chen für 1 Reihe

y-​Achse: 1 Käst­chen für 1 Karte

Ach­tung: Die Punk­te wer­den ei­gent­lich nicht ver­bun­den, da hier nur ganze Zah­len mög­lich sind.

7
Ein Schwimm­be­cken wird zur Rei­ni­gung aus­ge­pumpt. Eine Pumpe braucht 48 h. Be­rech­ne, wie lange meh­re­re Pum­pen be­nö­ti­gen.

Anzahl der Pumpen

1

2

3

4

6

Zeit in h

48

24

16

12

8

8
Ein 24 m lan­ges Schmuck­band soll in gleich lange Stü­cke ge­teilt wer­den.
  • Schrei­be in einer Ta­bel­le fünf Wer­te­paa­re aus der An­zahl der Stü­cke und der Länge eines Stücks auf.
    Bei­spiel: 24 m : 2 = 12 m; also (2; 12)






  • Zeich­ne ein Schau­bild.




















  • Lies in dei­nem Schau­bild ab:
    Wie lang ist ein Stück, wenn man das Band in 5; 10 bzw. 16 Stü­cke teilt.

Anzahl der Stücke

2

3

4

6

12

Länge eines Stücks in m

12

8

6

4

2

Lösung8
c) Ab­le­sen: (5 | 4,8); (10 | 2,4); (16 | 1,5)
Das heißt: Wenn das Band in 5 Stü­cke ge­teilt wird, ist ein Stück 4,8m lang; wird das Band in 10 Stü­cke ge­teilt, so ist ein Stück 2,4m lang und bei einer Tei­lung in 16 Stü­cke ist ein Stück 1,5m lang.
9
Ein neues Au­to­mo­dell fährt eine Test­stre­cke bei 60 km/h in 30 s. Be­rech­ne, wie lange das Auto fährt, wenn es schnel­ler oder lang­sa­mer fährt. Fülle die Ta­bel­le aus.

Geschwindigkeit in km/h

10

20

30

60

120

180

Zeit in s

180

90

60

30

15

10

10
Im Schau­bild ist eine an­ti­pro­por­tio­na­le Zu­ord­nung ab­ge­bil­det.















  • Trage die Wer­te­paa­re in eine Ta­bel­le ein. Nenne einen pas­sen­den Sach­ver­halt.






  • Gib den An­teil in € für 6 Teil­neh­mer an.
    Be­stim­me die An­zahl der Teil­neh­mer bei einem An­teil von 66,66 €.

Teilnehmer

1

2

4

8

10

Anteil in €

200

100

50

25

20

Lösung10
a) pas­sen­de Sach­ver­hal­te, zum Bei­spiel:
• Es wird eine Grup­pen­rei­se mit einem Klein­bus or­ga­ni­siert. Für den Bus muss eine feste Pau­scha­le von 200 € ge­zahlt wer­den. Die Kos­ten wer­den auf die Teil­neh­mer um­ge­legt.
• Eine Grup­pe Per­so­nen ge­winnt beim Lotto 200 €. Der Lot­te­rie­ge­winn wird an die Teil­neh­mer der Grup­pe ver­teilt.
b)
200 € : 6 ≈ 33,33 €
Bei 6 Per­so­nen be­trägt der An­teil pro Per­son 33,33 €.
200 € : 66,66 € ≈ 3,0
Bei einem An­teil von 66,66 € sind es 3 Teil­neh­mer.
Hin­weis: Die Er­geb­nis­se kön­nen be­rech­net oder aus dem Schau­bild ab­ge­le­sen wer­den.
11
Die Rei­ni­gungs­mann­schaft einer Re­gel­schu­le be­steht aus 18 Per­so­nen. Sie braucht täg­lich 4 Stun­den, um die Schu­le zu put­zen.
  • Ver­voll­stän­di­ge.
    Je mehr Rei­ni­gungs­kräf­te in dem Schul­ge­län­de ar­bei­ten, weniger Zeit benötigen sie.
    Wenn die Rei­ni­gung schnel­ler be­en­det sein soll, dann müssen mehr Personen arbeiten.
    Das ist eine umgekehrt proportionale Zu­ord­nung.
  • Heute sind 9 Rei­ni­gungs­kärf­te für ein an­de­res Pro­jekt ein­ge­teilt.
    Gib die An­zahl der Per­so­nen an, die die Schu­le heute put­zen. 9 Personen
    Be­stim­me die Zeit, die die ver­klei­ner­te Mann­schaft be­nö­tigt. 8 Stunden
    Gib die zeit an,. die eine ein­zi­ge Rei­ni­gungs­kraft an der Schu­le put­zen würde. 72 Stunden
  • Ordne die pas­sen­de Dar­stel­lung zur be­schrie­be­nen Si­tua­ti­on zu.



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