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AB
Eine Ebenengleichung aufstellen
Mathematik Vektoren 12
Reflektionsfragen
Bevor du mit den Aufgaben beginnst, solltest du kurz über die folgenden Fragen nachdenken. Wenn du zu einer Frage keine Idee hast, lies noch einmal in der INFO nach.
⇒ Wie viele Punkte werden mindestens benötigt, um eine Ebenengleichung aufzustellen?
⇒ Welche Vektoren kommen in einer Ebenengleichung vor?
⇒ Welche Rolle spielen die Parameter in einer Ebenengleichung?
⇒ Wie groß ist eine Ebene?
1
Die Punkte P, Q und R liegen nicht auf einer Geraden und legen somit eine Ebene eindeutig fest. Gib an, welche Vektoren bei dieser Ebene die Spannvektoren sind und welcher Vektor der Stützvektor ist.
Der Ortsvektor p ist der Stützvektor der Ebene. Die Richtungsvektoren PQ sowie PR sind die Spannvektoren der Ebene.
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https://editor.mnweg.org/mnw/dokument/eine-ebenengleichung-aufstellen-7
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Eine Ebenengleichung aufstellen
Mathematik Vektoren 12
2
Tom und Leon haben jeweils eine Ebenengleichung mit den Punkten A(1∣0∣3), B(0∣0∣2) und C(-4∣2∣1) aufgestellt. Dabei sind sie unterschiedlich vorgegangen. Obwohl sie zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, beschreiben beide die gleiche Ebene E.
Vergleiche ihre Rechenwege und begründe, warum beide Rechenwege richtig sind.
Vergleiche ihre Rechenwege und begründe, warum beide Rechenwege richtig sind.
Rechenweg von Tom
E:x=a+r ⋅AB+s ⋅AC
AB= 002− 103= -10-1
AC= -421− 103= -52-2
E:x= 103+r ⋅ -10-1+s ⋅ -52-2
Rechenweg von Leon
E:x=b+r ⋅BA+s ⋅AC
BA= 103− 002= 101
AC= -421− 103= -52-2
E:x= 002+r ⋅ 101+s ⋅ -52-2
Tom und Leon nutzen unterschiedliche Stützvektoren. Da jedoch beide zu Punkten in der Ebene führen, ist ihr Vorgehen zulässig. Das Gleiche gilt für die Spannvektoren, auch die sind unterschiedlich, liegen aber jeweils in der Ebene.
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Eine Ebenengleichung aufstellen
Mathematik Vektoren 12
3
Die Punkte A, B und C legen die Ebene E eindeutig fest. Gib eine zugehörige Ebenengleichung an.
a) A(2∣0∣7), B(1∣-1∣3), C(0∣-2∣1)
b) A(-3∣1∣5), B(2∣-2∣4), C(1∣6∣5)
a) A(2∣0∣7), B(1∣-1∣3), C(0∣-2∣1)
b) A(-3∣1∣5), B(2∣-2∣4), C(1∣6∣5)
a) z. B. E:x=a+r ⋅AB+s ⋅AC
E:x= 207+r ⋅ -1-1-4+s ⋅ -2-2-6
b) z. B. E:x=a+r ⋅AB+s ⋅AC
E:x= -315+r ⋅ 5-3-1+s ⋅ 450
E:x= 207+r ⋅ -1-1-4+s ⋅ -2-2-6
b) z. B. E:x=a+r ⋅AB+s ⋅AC
E:x= -315+r ⋅ 5-3-1+s ⋅ 450
4
Ermittle, welche Punkte der Ebene E mithilfe der Parameter beschrieben werden.
E:x= 121+r ⋅ 1-2-1+s ⋅ 3-20
a) r=2,s=1
b) r=-2,s=3
E:x= 121+r ⋅ 1-2-1+s ⋅ 3-20
a) r=2,s=1
b) r=-2,s=3
Beispiel
r=1,s=2
x= 121+1 ⋅ 1-2-1+2 ⋅ 3-20= 8-40
X(8∣-4∣0)
a) X(6∣-4∣-1)
b) X(8∣0∣3)
b) X(8∣0∣3)
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Eine Ebenengleichung aufstellen
Mathematik Vektoren 12
5
Die Gerade g und der Punkt P(2∣3∣-2) liegen in der Ebene E. Bestimme die Ebenengleichung.
g:x= 324+r ⋅ 1-2-4
g:x= 324+r ⋅ 1-2-4
E:x= 324+r ⋅ 1-2-4+s ⋅ -11-6
Der zweite Spannvektor ist die Differenz aus dem Ortsvektor p und dem Stützvektor der Geraden.
6
Die parallelen Geraden g und h liegen in der Ebene E. Bestimme die Ebenengleichung.
g:x= 120+r ⋅ 13-1
h:x= 144+s ⋅ 26-2
g:x= 120+r ⋅ 13-1
h:x= 144+s ⋅ 26-2
E:x= 120+r ⋅ 13-1+s ⋅ 024
Der zweite Spannvektor ist die Differenz aus den Stützvektoren der Geraden.
Der zweite Spannvektor ist die Differenz aus den Stützvektoren der Geraden.
7
Erläutere, warum die Spannvektoren einer Ebene nicht linear abhängig sein dürfen.
Wenn die Spannvektoren einer Ebene linear abhängig sind, spannen sie keine Ebene auf, da sie beide in die gleiche Richtung zeigen. Die Gleichung würde somit keine Ebene, sondern eine Gerade beschreiben.
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Eine Ebenengleichung aufstellen
Mathematik Vektoren 12
8
Untersuche, ob die Geraden g und h in einer gemeinsamen Ebene liegen und ermittle gegebenfalls die Ebenengleichung.
a) g:x= 013+r ⋅ 147, h:x= -12-4+s ⋅ 29-1
b) g:x= 47-3+r ⋅ 162, h:x= -15-3+s ⋅ 2-2-1
a) g:x= 013+r ⋅ 147, h:x= -12-4+s ⋅ 29-1
b) g:x= 47-3+r ⋅ 162, h:x= -15-3+s ⋅ 2-2-1
a) Um zu untersuchen, wie die Geraden zueinander liegen, wird geprüft, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind:
147=k ⋅ 29-1
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Nun wird geprüft, ob es einen Schnittpunkt gibt. Dazu werden die Geradengleichungen gleichgesetzt:
013+r ⋅ 147= -12-4+s ⋅ 29-1
Das zu dieser Gleichung zugehörige LGS hat eine leere Lösungsmenge: L={ }.
⇒ Die Geraden g und h sind windschief zueinander. Sie spannen keine Ebene auf.
b) Auch bei diesen beiden Geraden wird untersucht, wie sie zueinander liegen:
162=k ⋅ 2-2-1
47-3+r ⋅ 162= -15-3+s ⋅ 2-2-1 mit L={-1;2}
Einsetzen von r oder s führt zum Schnittpunkt S(3∣1∣-5). Die Geraden liegen in der Ebene
E:x= 31-5+r ⋅ 162+s ⋅ 2-2-1.
147=k ⋅ 29-1
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Nun wird geprüft, ob es einen Schnittpunkt gibt. Dazu werden die Geradengleichungen gleichgesetzt:
013+r ⋅ 147= -12-4+s ⋅ 29-1
Das zu dieser Gleichung zugehörige LGS hat eine leere Lösungsmenge: L={ }.
⇒ Die Geraden g und h sind windschief zueinander. Sie spannen keine Ebene auf.
b) Auch bei diesen beiden Geraden wird untersucht, wie sie zueinander liegen:
162=k ⋅ 2-2-1
47-3+r ⋅ 162= -15-3+s ⋅ 2-2-1 mit L={-1;2}
Einsetzen von r oder s führt zum Schnittpunkt S(3∣1∣-5). Die Geraden liegen in der Ebene
E:x= 31-5+r ⋅ 162+s ⋅ 2-2-1.
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