TitelNullstellen berechnen
AutorMNWeG
veröffentlicht24.04.2023
FachMathematik
KompetenzbereichFunktionen
Phase11
MaterialformInputmaterial

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Arbeitsauftrag

Erarbeite dir die Regeln zum Bestimmen von Nullstellen, indem du die folgenden Aufgaben bearbeitest. Wenn du nicht weiter kommst, findest du die Lösungen am Ende des Dokuments.

Was ist eine Nullstelle?

Als Nullstellen werden die $x$ -Werte bezeichnet, deren Funktionswert $y = 0$ ist. Der Graph einer Funktion schneidet oder berührt an einer Nullstelle die $x$ -Achse.

a) Zeichne den Graphen der linearen Funktion mit der Funktionsgleichung

f (x) = - 0, 5 x + 1

und markiere die Nullstelle.
b) Gib die Nullstelle und den Schnittpunkt mit der

x

-Achse an.

a) Zeichne den Graphen der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung

f (x) = x^{2} - 2 x

und markiere die Nullstellen.
b) Gib die Nullstellen und die Schnittpunkte mit der

x

-Achse an.

Wie viele Nullstellen hat eine Funktion?

Die Anzahl der Nullstellen hängt vom Grad einer ganzrationalen Funktion ab. Sie kann immer maximal so viele Nullstellen haben, wie ihr Grad ist. Es können aber auch weniger sein.

Ordne die Bildunterschriften den Bildern zu.

(1) Diese quadratische Funktion hat keine Nullstellen.

(2) Diese Funktion vierten Grades hat drei Nullstellen. Würde sie ein Stück nach oben verschoben werden, hätte sie 4 Nullstellen.

(3) Eine lineare Funktion hat immer genau eine Nullstelle.

(4) Die konstante Funktion hat keine Nullstellen.

Wie werden Nullstellen berechnet?

Der erste Schritt beim Bestimmen von Nullstellen ist immer gleich. Die Funktion wird Null gesetzt: $f (x) = 0$

So entsteht eine Gleichung, die gelöst werden muss. Die Wahl des Lösungsverfahrens hängt dabei von der Beschaffenheit der Funktionsgleichung ab.

Trägt nur ein Summand der Funktions-gleichung ein $x$ (egal in welcher Potenz)?

Die Gleichung lässt sich durch Umstellen lösen.

nein

Hat die Funktionsgleichung die Form

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ ?

Die Gleichung kann mit der $pq$ -Formel gelöst werden.

nein

Eine Potenz von $x$ kann ausgeklammert werden, sodass der Nullproduktsatz angewendet werden kann.

Enthalten alle Summanden der Funktionsgleichung eine Potenz von $x$ ?

nein

Die Gleichung kann mit mit einer Substitution und der $pq$ -Formel gelöst werden.

Hat die Funktionsgleichung die Form

$f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ ?

Die Gleichung kann durch systematisches Probieren oder durch Annäherung gelöst werden. Digitale Hilfsmittel wie ein CAS können ebenfalls hilfreich sein.

nein

Gleichungen durch Umstellen lösen

Beispiel

$f (x) = x^{4} - 16$

$f (x) = 0$

$x^{4} - 16 = 0 ∣ + 16$

$x^{4} = 16$

$x_{1} = 2; x_{2} = - 2$

Bestimme die Nullstellen.

a) $f (x) = 2 x + 3$

b) $f (x) = x^{3} - 8$

Gleichungen mit der $pq$ -Formel lösen

Beispiel

$f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12$

$f (x) = 0$

$2 x^{2} - 10 x + 12 = 0 ∣ : 2$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$p = - 5; q = 6$

$x_{1, 2} = - \frac{- 5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - 6$

$x_{1} = 2; x_{2} = 3$

Bestimme die Nullstellen.

a) $f (x) = x^{2} + x - 2$

b) $f (x) = 0, 5 x^{2} + x - 4$

Nullproduktsatz

Ein Produkt ist immer dann $0$ , wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist.

Ausklammern beim Lösen von Gleichungen

Bestimme die Nullstellen.

a) $f (x) = 2 x^{2} + x$

b) $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Beispiel

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

$f (x) = 0$

$0 = x^{4} - 4 x^{2}$

$0 = x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$

$x^{2} = 0$ oder $x^{2} - 4 = 0$

$x_{1} = 0; x_{2} = 2; x_{3} = - 2$

Durch die Anwendung des Nullproduktsatzes entstehen neue Gleichungen, für die wieder geprüft werden muss, welches Lösungsverfahren geeignet ist.