a) Erläutere, warum es sich in beiden Fällen um Funktionen handelt.

b) Gib die Definitonsmenge und die Wertemenge für beide Funktionen an.

c) Beschreibe das Monotonieverhalten beider Funktionen.

a) Gib den Grad der Funktion an.

b) Untersuche die Funktion auf Nullstellen.

Hinweis: Es handelt sich um Beispiellösungen. Teilweise sind alternative Rechenwege möglich.

a) Eine Funktion ordnet einer Zahl $x$ einen eindeutigen Funktionswert zu. Da in beiden Graphen keine Stelle vorhanden ist, an der eine vertikale Linie die Funktion zweimal schneiden würde, handelt es sich um Funktionen.

b)

c) Für $x<0$ ist $f(x)$ streng monoton fallend und für $x>0$ ist $f(x)$ streng monoton steigend.

Für $x\ge 0$ ist $g(x)$ streng monoton steigend.

b) $f(x)=2x^4-2x^2-24$

$f(x)=0$

$0=2x^4-2x^2-24$

Substitution: $x^2=z$

$0=2z^2-2z-24|:2$

$0=z^2-z-12$

$p=\text{-}1;q=\text{-}12$

$z_{1,2}=\text{-}\frac{\text{-}1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{-}1}{2}\right)}^2-(\text{-}12)}$

$z_1=\text{-}3;z_2=4$

Rücksubstitution: $z=x^2$

$x^2=\text{-}3$ oder $x^2=4$

$x_1=2;x_2=\text{-}2$

a) Die Funktion $f(x)$ ist im Vergleich zur dargestellten Funktion achsensymmetrisch, da es in der Funktion nur gerade Exponenten gibt.

b) Die Funktion $g(x)$ zeigt ein anderes Verhalten im Unendlichen. Während die dargestellte Funktion für $x$ gegen $\infty$ gegen $\text{-}\infty$ strebt, strebt die Funktion $g(x)$ gegen $+\infty$.

c) Die Funktion $h(x)$ ist in der Linearfaktordarstellung angegeben, sodass sich ablesen lässt, dass $h(x)$ bei $x=\text{-}2$ eine Nullstelle hat. Die dargestellte Funktion hat dort keine Nullstelle.